宋史 · 卷七十七·志第三十

〔1〕△观天历

《观天历》是一部古代历法名称。

• 观天历：古代历法名称，北宋时期制定的历法之一，用于推算天文现象和节气。

〔2〕元祐《观天历》

元祐年间颁布的《观天历》。

• 元祐：北宋哲宗赵煦的年号（1086-1094年），这里指代这一时期。
• 观天历：北宋时期使用的一部历法，用于推算日月星辰运行、指导农事和纪时。

〔3〕演纪上元甲子，距元祐七年¹⁰⁹²壬申，岁积五百九十四万四千八百八算。（上考往古，每年减一；下验将来，每年加二。）

演纪的上元是甲子年，到元祐七年（壬申年）为止，累积的年数是五百九十四万四千八百零八算。（往上推算古代，每年减去一算；往下推算未来，每年加上两算。）

• 演纪：古代历法中推演历元的一种方法，通过设定起始点来推算日月运行和节气。
• 上元：历法中作为起点的理想时刻，通常以甲子年、甲子月、甲子日、甲子时为基准。
• 甲子：干支纪年的起始，常作为历法上元的标志。
• 元祐：北宋哲宗赵煦的年号（1086—1094年），元祐七年即公元1092年。
• 壬申：干支纪年中的壬申年，与元祐七年对应。
• 算：古代历法中的计算单位，这里指累积的年数或用于推算的基数。
• 元祐七年 → 1092年（北宋 元祐 1086年—1094年）

〔4〕步气朔

推算节气与朔日。

• 步：推步，即推算天文历法。
• 气：节气，指二十四节气。
• 朔：朔日，农历每月的第一天。

〔5〕统法：一万二千三十。

统法的数值是一万二千三十。

• 统法：古代历法中用于计算年、月、日周期的常数，不同历法数值不同。
• 一万二千三十：即12030。

〔6〕岁周：四百三十九万三千八百八十。

岁周的数值是四百三十九万三千八百八十。

• 岁周：古代历法术语，指一年的周期长度，通常用于天文计算，这里给出具体数值。

〔7〕岁余：六万三千八十。

这一年的余数是六万三千八十。

• 岁余：古代历法中，指回归年长度中的小数部分，通常以分数形式表示。

〔8〕气策：一十五、余二千六百二十八、秒一十一。

气策：15天，余数2628，秒数11。

• 气策：古代历法术语，指一个节气的时间长度，包括整数天、余数和秒数。
• 余：古代历法中表示日以下小数部分的单位，常与“日法”配合来表示小于一天的时间。
• 秒：古代历法中更小的计时单位，通常表示比“余”更精细的分数部分。

〔9〕朔实：三十五万五千二百五十三。

朔实是三十五万五千二百五十三，这个数值代表古代历法里一个朔望月的具体长度，通常是把一天分成很多份以后算出来的。

• 朔实：古代历法术语，“朔”指农历初一，“实”指实际数值，合起来就是一个朔望月（从这次新月到下次新月）的真实长度。古人用分数或大数来表示，这里的数字就是它的具体值。

〔10〕朔策：二十九、余六千三百八十三。

朔策（朔望月的长度）是二十九天又六千三百八十三分（余数部分）。

• 朔策：指朔望月的长度，即从一次新月到下一次新月的时间间隔，古代历法中常用整数与余数表示。
• 余：历法中表示不足一日的分数，此处‘六千三百八十三’是余数，通常以万为分母，代表一日之分数。

〔11〕望策：一十四、余九千二百六、秒一十八。

望策这个数值是：一十四（14），余数是九千二百六（9260），秒数是一十八（18）。这是古代历法中计算满月时刻所用的参数。

• 望策：指古代历法中推算望日（满月）的数值参数，包括整数、余数和秒数。
• 余：历法中基数以外的余数部分，这里指9260。
• 秒：古代历法中的更小单位，用于表示更精确的余数，这里指18。

〔12〕弦策：七、余四千六百三、秒九。

弦的数值计算结果是：整数部分是七，余数是四千六百零三，秒是九。

• 弦策：弦的数值，指圆上个两点间的线段长度。
• 余：余数，表示整数部分之后的小数或分数部分。
• 秒：古代数学中的小数单位，相当于更小的数位。

〔13〕岁闰：一十三万八百四十四。

闰年的数值是十三万八百四十四。

• 岁闰：古代历法中表示闰年或闰月周期的术语，指调整岁差所需的闰余。
• 一十三万八百四十四：古代数字表示，即十三万零八百四十四（130844），常以万为计数单位。

〔14〕中盈分：五千二百五十六、秒二十四。

中盈分这个数值是五千二百五十六又二十四秒。

• 中盈分：古代天文历法中表示天体运行盈亏或调日的一个参数，常出现在历法计算中。
• 秒：这里指比‘分’更小的单位，古时1分等于60秒，用于精细度量。

〔15〕朔虚分：五千六百四十七。

朔虚分是五千六百四十七。

• 朔：指农历每月的第一天，即新月出现的日子，代表月亮运行到太阳和地球之间。
• 朔虚分：古代历法术语，指朔望月（农历一个月）的实际长度减去整数后的余数部分，用于调节大小月安排，保证日期与月相吻合。
• 无：本句直接记录一个历法数值，不涉及具体地名、官职或历史人物。

〔16〕没限分：九千四百二。

没限分是九千四百二十。

• 没限分：古代文献中可能指一个特定的计量名称或分类指标，具体含义需结合上下文判断。
• 九千四百二：数字写法，即九千四百二十。

〔17〕闰限：三十四万四千三百四十九、秒一十二。

闰限的数值是三十四万四千三百四十九又十二秒。

• 闰限：古代历法中用来确定是否设置闰月的一个数值界限或周期参数。
• 秒：古代时间或角度单位，这里指小数部分，即1/100？但通常1秒=1/60分，此处可能表示一个很小的附加量。

〔18〕旬周：七十二万一千八百。

旬周是七十二万一千八百。

• 旬周：古代历法中计算时间循环的周期单位，一旬为十天，周指循环，合指一个大的循环周期。这里具体数值为七十二万一千八百。

〔19〕纪法：六十。

纪年的法则：以六十年为一个周期。

• 纪法：纪年的法则或方法，通常指干支纪年法。
• 六十：指六十甲子，即天干地支组合成的六十个不同序数，用于循环纪年。

〔20〕以上秒母同三十六。

以上就是秒母，总共三十六。

• 秒母：指某种分类或单位，可能来自算法或音律等领域的专用名词，具体含义需结合上下文。

〔21〕推天正冬至：置距所求积年，以岁周乘之，为气积分；满旬周去之，不尽，以统法约之为大余，不满为小余。其大余命甲子，算外，即所求年天正冬至日辰及余。

推算天正冬至的方法：先算出从基准年到所求年份之间相隔的年数（积年），把这个年数乘以岁周（一年的长度），得到气积分。如果气积分满一个旬周（60天）就减去整旬周的倍数，剩下的余数用统法（历法中的分母）来除，得到的整数部分是大余，不够除的零头是小余。大余对应干支序号，从甲子开始数，数到第几个干支就是冬至那天的日干支，小余表示更精确的时刻。

• 天正冬至：古代历法术语，指以冬至为一年之始的节气点，常用于推算历法。
• 气积分：古代历法中表示冬至时刻积累的总分数，由积年乘以岁周得到。
• 旬周：指一个干支周期，通常为60天。
• 统法：历法中的法定分母，用于将分数转化为整数和余数。
• 大余：除法得到的整数部分，对应日干支的序号。
• 小余：除法后的余数，表示比一日更小的时刻分数。
• 甲子：干支纪日法的首日，代表第零或第一天，用于标记大余对应的干支。

〔22〕求次气：置天正冬至大、小余，以气策及余秒累加之，（秒盈秒法从小余一，小余盈统法从大余一，大余盈纪法去之。）命甲子，算外，即各得次气日辰及余秒。

要推算下一个节气，先把天正冬至的整数日和小数部分记下来，然后依次加上一个节气的长度以及它的小数部分。（秒数满了秒法就进位一个小数单位，小数部分满了统法就进位一个整数日，整数日满了纪法就去掉60的倍数。）从甲子日开始算起，不计算起始的那个时刻，就能得到下一个节气的具体日辰和剩余的小数部分。

• 次气：指下一个节气，古代把一年分成二十四气，依次推算。
• 天正冬至：古代历法中冬至的精确时刻，包括日和余分。
• 气策：一节气的长度，约为15.21875天。
• 命甲子：从甲子日开始作为计算的起点。
• 甲子：干支纪日的第一天，古代历法常用甲子日作为历元或推算起点。
• 大余、小余：大余表示日数，小余表示日以下的分数部分。
• 统法、纪法：统法是进位小余到大余的基数；纪法是大余满60去掉（干支周期）。

〔23〕推天正经朔：置天正冬至气积分，以朔实去之，不尽为闰余；以减天正冬至气积分，余为天正十一月经朔加时积分；满旬周去之，不尽，以统法约之为大余，不满为小余。其大余命甲子，算外，即所求年天正十一月经朔日辰及余。

推算天正十一月朔日：先取天正冬至时刻的总积日数，用朔实（一个朔望月的长度）去除它，余数就是闰余；然后用冬至积日数减去闰余，就得到天正十一月朔日的积日数（加时积分）；如果这个积日数超过一旬周（六十日），就减掉整旬周，剩下的部分用统法换算成天数，整数部分叫大余，不足统法的部分叫小余。大余从甲子开始按顺序数，数到之外的那个干支，就是所求年份天正十一月朔日的具体日辰和余数。

• 天正：指冬至所在的月份，即农历十一月。古代历法以冬至为一年开始，故称‘天正’。
• 天正经朔：历法推算出的天正（十一月）月份的朔日（初一），是历法计算中的重要基准。
• 朔实：一个朔望月的实际长度，通常为29.5306日，用于推算朔日。
• 闰余：冬至积日数除以朔实的余数，表示冬至后至下一个朔日的时间差，决定是否置闰。
• 旬周：六十日，即一个甲子周期，用于调整干支纪日。
• 统法：历法中把一日分成若干份的单位，用于将分数部分折算成日数（如统法为100则一日百分）。
• 命甲子：用天干地支组合纪日，从甲子开始按序编号，以确定具体日期。

〔24〕求弦望及次朔经日：置天正十一月经朔大、小余，以弦策累加之，去命如前，即各得弦、望及次朔经日及余秒。

要推算上弦、下弦、满月以及下一个朔日的平朔时刻，先取天正十一月平朔的大余和小余数值，然后依次累加弦策（即从朔到弦、从弦到望等固定时间间隔），余数的处理方法与前面相同，这样就能得到各弦日、满月日以及下一朔日的平朔时刻及其余数。

• 弦望：弦指上弦与下弦，望指满月，都是重要的月相节点。
• 次朔：指下一个朔日。
• 天正十一月：古代历法以冬至所在的子月为天正，天正十一月即农历十一月，作为历法计算的起点。
• 经朔：指不考虑月球运行不均匀所算出的平均朔日时刻，又称平朔。
• 弦策：古代历法中表示从朔到上弦、从上弦到望、从望到下弦、从下弦到次朔的固定时间间隔。
• 去命：指去掉余数或进行进位换算，以得到完整的日数。
• 大余小余：大余指天数整数部分，小余指一天以下的余数，通常用分数表示。

〔25〕求没日：置有没之气小余，以三百六十乘之，其秒进一位，从之，用减岁周，余满岁余除之为日，不满为余。其日，命其气初日日辰，算外，即为其气没日日辰。（凡气小余在没限以上者，为有没之气。）

计算没日的方法：将含有没的气的小余数乘以360，并把秒的数值向前进一位（即乘以10），用这个结果减去岁周。剩下的余数除以岁余，得到整数日数，余下的作为分数。这个日数从该气初日的干支日开始推算（不包含初日本身），得到的就是该气没日的干支日。凡是气的小余数大于没限的，这个气就是含有没的气。

• 没日：古代历法术语，指节气中与月行死魄（月亮无光）相关的特殊日子，与‘灭日’相对。
• 岁周：指太阳回归年周期，通常为365日加上余数（如365又1/4日）。
• 岁余：岁周的小数部分，即回归年减去整数日后的余数。
• 气小余：古代历法表示节气时刻的小数部分，用于细分日时。
• 没限：判定是否有没的界限值，气小余超过此值则算有没。

〔26〕求灭日：置有灭之朔小余，以三十乘之，满朔虚分除之为日，不满为余。其日命其月经朔初日日辰，算外，即为其月灭日日辰。（凡经朔小余不满朔虚分者，为有灭之朔。）

计算灭日的方法：把有灭的朔的小余乘以30，除以朔虚分，整数部分是天数，余数就是余分。然后从该月经朔初日的干支算起，经过这些天数（算外），得到的干支就是该月灭日的干支。括号里的说明是：凡是经朔的小余小于朔虚分的，就是有灭的朔。

• 朔虚分：历法中设定的分母，用于将小余换算成日数，通常为30或与之相关的常数。
• 经朔：根据平均月长推算出来的平朔时刻，不考虑日月运行的不均匀性。
• 算外：历法术语，意思是从起始日算起，不包括起始日，经过若干天后的那一天。
• 朔小余：古代历法中将朔望月长度的小数部分称为小余，用于表示从朔日到下一个朔日的分数时间。
• 历法背景：此段出自中国古代历法，如《大衍历》或《授时历》，是求算灭日的计算方法。灭日指朔日发生的具体时刻，与日月交食推算有关。

〔27〕步发敛

这一章讲的是推算发敛（即历法中计算闰余、没日、灭日等的方法）。

• 步：推步，指推算天象、历法。
• 发敛：古代历法术语，指推算闰余、没日、灭日等数值，用于确定历法中的特殊时间点。
• 出处：出自《新唐书·历志》章节标题，是古代历法计算的一个重要部分。

〔28〕候策：五、余八百七十六、秒四。

候策的数值是五，余数是八百七十六，秒数是四。

• 候策：古代历法中表示一候（五天）长度的参数，用于推算节气等。
• 余：指整数部分以外的余数，在历法中表示分数部分。
• 秒：古代历法中的微小时间单位，通常为分的百分之一（不同历法进制可能不同）。

〔29〕卦策：六、余一千五十一、秒一十二。

卦策为六，余数为一千零五十一，秒数为十二。

• 卦策：古代用蓍草占卜时计算卦象的数目，也指历法中用于推算的特定数值。
• 余：指在某种计算过程中剩下的零头或多余的部分。
• 秒：古代历法或数学中的微小单位，常表示时间或角度的次级单位。

〔30〕土王策：三、余五百二十五、秒二十四。

土星（填星）的运行参数：整数部分是3，余数是525，秒数是24。这是古代历法中用于推算土星位置的一组常数。

• 土王：指土星，古代又称填星。
• 土王策：出自古代天文历法文献，如《汉书·律历志》等，用以描述土星运动推步的常数。
• 策：推算星体运行所用的恒定参数或法则。
• 余：整数部分后面剩余的分数，通常代表不足一日的部分。
• 秒：古代历法中比‘分’更小的单位，用以更精确地表示余数。
• 填星：即土星，古代称为填星，因其每年填满一宿而得名。

〔31〕月闰：一万九百三、秒二十四。

闰月的数值是一万零九百零三又二十四秒。

• 月闰：指闰月，即农历中为了协调回归年与朔望月而额外增加的月份。
• 秒：古代计时单位，这里用于表示历法计算中的精细数值。

〔32〕辰法：二千五。

辰法的数值是两千五百。

• 辰法：古代天文历法中用于推算时辰的基数或除数。
• 二千五：即2500，表示辰法的具体数值。

〔33〕半辰法：一千二半。

半辰法的计算规则是：一千二百的一半。

• 半辰：古代将一昼夜分为十二辰，半辰即半个时辰，相当于现代的一小时。
• 法：方法、规则。
• 一千二半：指数字“一千二百的一半”，即六百；也有说法认为“一千二半”是“一千二百五十”的省略表达，需结合具体典籍判断。

〔34〕刻法：一千三百三。

刻法规定的数字是一千三百三。

• 刻法：雕刻或刻制的工艺方法、规范。
• 一千三百三：古代数字表示法，常省略“十”字，可理解为“一千三百三十”或“一千三百零三”，具体含义需根据上下文判断。

〔35〕秒母：三十六。

秒母的数值是三十六，意思是将一分细分为三十六秒。

• 秒母：古代历法中用于细分时间或角度的一个分母，表示一分包含多少秒，这里的三十六意味着一分等于三十六秒。

〔36〕推七十二候：各因中节大、小余命之，为初候；以候策加之，为次候；又加之，为末候。

推算七十二候的方法是：每个节气根据它的大余和小余来定出初候；然后加上候策（也就是每候的日数间隔）得到次候；再加上一次候策就得到末候。

• 七十二候：中国古代物候历，将一年分为七十二候，每候五天，每个节气分为三候，用以反映自然界的物候变化，指导农事活动。
• 中节：这里指二十四节气中的中气（或泛指节气），是划分七十二候的基本单位。
• 大、小余：古代历法术语，大余指完整的日数，小余指不足一日的分数部分，用来精确表示节气的时刻。
• 命之：意为'确定它（为某候）'，即根据余数指定该节气对应的初候。
• 候策：古代历法中每一候的间隔日数，通常为五天。

〔37〕求六十四卦：各因中气大、小余命之，为初卦用事日；以卦策加之，为中卦用事日；又加之，得终卦用事日。以土王策加诸侯内卦，得十有二节之初外卦用事日；又加之，得大夫卦用事日；复以卦策加之，得卿卦用事日。

推算六十四卦的值日方法：分别根据每个中气（每月第二个节气）的大余和小余来确定，得到初卦的值日时间；加上卦策（一卦对应的日数），得到中卦的值日时间；再加一次，得到终卦的值日时间。再用土王策（与土对应的策数）加上诸侯内卦（诸侯卦的内卦部分），得到十二节开始的第一个外卦的值日时间；再加一次，得到大夫卦的值日时间；再加卦策，得到卿卦的值日时间。

• 中气：古代历法中，二十四节气分为节气和中气，每月第一个节气为节，第二个为中气。这里指中气所在的时刻。
• 用事日：指某卦开始值事、当值的那一天，即该卦所主管的时段起点。
• 卦策：策指筹策，卦策是每一卦在卦气说中所对应的日数，通常是六日七分（即6又7/80日）。
• 土王策：与五行土相配的策数，在卦气体系中用于推算季夏土王时段的卦序。
• 诸侯内卦：指诸侯卦的内卦部分，诸侯卦是卦气体系中主管节气的卦之一，内卦即下三爻。
• 外卦：指卦的上三爻，这里特指十二节之初的外卦。
• 卦气说：汉代易学理论，将六十四卦与一年节气、日数相配，用卦来主管各个时段，其中侯、大夫、卿、诸侯等是卦的分类名称，内卦外卦指六爻卦的下卦和上卦。
• 大余小余：古代历法推算中的两个参数，大余表示整数日数，小余表示小于一日的分数部分，通常来自日影、月行等观测数据。
• 大夫卦、卿卦：卦气体系中不同等级的卦，分别主管不同时段，大夫卦和卿卦是其中的两种。

〔38〕推五行用事：各因四立之节大、小余命之，即春木、夏火、秋金、冬水首用事日；以土王策减四季中气大、小余，命甲子，算外，为其月土始用事日。

推算五行主事的日期方法是：分别根据立春、立夏、立秋、立冬这四个节气当天的干支日数（大小余）来推算，那正是春季木、夏季火、秋季金、冬季水开始主事的日子；再用土旺的策数减去春分、夏至、秋分、冬至这四个中气日子的干支日数（大小余），从甲子干支开始顺数，数出来的结果就是该月土开始主事的日子。

• 五行用事：古代阴阳五行学说中，木、火、土、金、水五种元素轮流主宰季节时令的概念。
• 四立之节：立春、立夏、立秋、立冬四个节气，标志四季开始。
• 大、小余：古代历法计算纪日干支的两个数值，大余指干支序列中的天干位置，小余指地支位置，用来确定具体日期。
• 土王：土行当令之时，四季中土于季末各主十八日，也称“土旺”。
• 土王策：土行主事时使用的特定策算常数，具体数值传统有规定。
• 四季中气：春分、夏至、秋分、冬至四个中气，分别位于季中。

〔39〕求中气去经朔：置天正冬至闰余，以月闰累加之，满统法约之为日，不尽为余，即各得每月中气去经朔日及余秒。（其闰余满闰限者，为月内有闰也；仍定其朔内无中气者为闰月。）

计算每个中气离经朔（平均新月时刻）有多远：先记下冬至那天的闰余（冬至时刻离甲子日零点的余数），然后逐月加上月闰（每月增加的闰余总数值），当总和跟统法（一个换算基数）齐了就算一天，不够的零头就是余秒。这样就能得到每个月的中气距离经朔的天数和余秒了。（如果闰余累积达到闰限，说明这个月里需要多加一个闰月；然后还要确定，如果某个月的初一（朔日）落在这个月里，而这一个月又没有中气，那么这个月就是闰月。）

• 经朔：根据月球的平均运动计算出的新月（初一）发生的准确时刻，也叫平朔。历法中用来对比实际月相。
• 闰余：从历元（比如冬至）到甲子日零点所累积的余数，是用来确定闰月和节气偏差的基础数值。
• 统法：古代历法中的固定分母，用来把分数部分转化为整数天数的基数，类似于现代历法中的日法。
• 闰限：闰余值达到的一个特定门槛，一旦超过就表示这个月应该安排闰月，是判断闰月的关键参数。
• 中气：二十四节气中排在奇数位的节气（如冬至、大寒、雨水等），古人用中气来划分月份，没有中气的月就是闰月。

〔40〕求卦候去经朔：以卦、候策累加减中气，去经朔日及余，（中气前，减；中气后，加。）即各得卦、候去经朔日及余秒。

要算卦和候分别距离上个月经朔（平朔）的日子数，方法是用卦策和候策挨个加上或者减去中气，得到它们离经朔的天数和余数。具体是：如果在中气之前，就减去；在中气之后，就加上。这样就算出了卦和候各自距离经朔的天数和余秒。

• 卦候：来自古人把《周易》六十四卦跟一年气候、物候搭配的学问，叫卦气说。
• 经朔：按照月亮平均运动算出的朔日，也就是平朔，是每月起始的基准点。
• 候策：每个候所对应的天数，一般一候约五天，用来累加或累减求候的位置。
• 中气：二十四节气里的一种，跟节气（比如立春、惊蛰）交替，中气是确定月份的关键。
• 卦策：每个卦所对应的天数，是固定数值，用来累加或累减求卦的位置。

〔41〕求发敛加时：倍所求小余，以辰法除之为辰数，不满，五因之，满刻法为刻，不满为余。其辰数命子正，算外，即各得所求加时辰、刻及分。

要计算发敛加时，先把所求的小余数加倍，用辰法除，得到的商就是辰数；如果除不尽，把余数乘以五，再用刻法除，得到的商是刻数，余数就是分。然后从子正开始，顺序数过辰数个时辰（不包含子正本身），就得到加时的时辰、刻数和分数。

• 发敛：古代历法中调整天体运行快慢的术语，这里指需要附加的时间改正量。
• 小余：历法计算中的分数部分，指不满一天的时间余量。
• 辰法：划分时辰的基准数，用于将时间单位换算为时辰。
• 子正：子时正中，即午夜零点，古代一日的起始时刻。
• 算外：计数方式，表示从起点之后算起，不包括起点本身。

〔42〕步日躔

推算太阳运行的轨迹

• 步：推算、测量
• 日躔：太阳运行的度次或路径

〔43〕周天分：四百三十九万四千三十四、秒五十七。

周天分的数值是四百三十九万四千零三十四分，再加上五十七秒。

• 周天分：古代天文学术语，指一个天球圆周（360度）对应的分数值，常用于历法计算中表征日、月等天体的运行周期。
• 秒：古代角度或时间单位，这里指比分更小的单位，一般一分等于一百秒或六十秒，具体数值因不同历法而异。

〔44〕周天度：三百六十五、余三千八十四、秒五十七。

周天度是三百六十五度，余数是三千八十四分，余秒是五十七秒。

• 周天度：古代天文学中表示一周天（太阳周年视运动轨道）的度数，相当于现在360度，但古代中国将一周天分为365.25度，这里是分数表示。
• 余：指整数度之后的余数，通常以“分”为单位，这里写作“三千八十四”即3084分（古代一度等于一百分，所以余数表示分）。
• 秒：古代角度单位，一度等于一百秒（或更复杂的进制，但此处余秒指分以下的小数部分）。

〔45〕岁差：一百五十四、秒五十七。

岁差的数值是一百五十四秒五十七。

• 岁差：由于地球自转轴方向缓慢变化，导致春分点每年向西移动约50.2角秒的天文现象。
• 秒：古代角度单位，1度=60分，1分=60秒。

〔46〕二至限日：一百八十二、余七千四百八十。

二至限日是指从冬至到夏至（或夏至到冬至）的间隔天数，规定为一百八十二天，外加一个余数七千四百八十（即不足一天的小数部分）。

• 二至限日：古代历法术语，指冬至与夏至之间的日数限定。
• 余：古代天文计算中，指不满一天的小数部分，通常以分数表示。

〔47〕冬至后盈初夏至后缩末限日：八十八、余一万九百五十八。

冬至之后的盈初阶段和夏至之后的缩末阶段，它们的限定日数是八十八天，余分为一万零九百五十八。

• 盈初：指冬至后太阳视运动速度开始加快的初期阶段。
• 缩末：指夏至后太阳视运动速度减慢的末尾阶段。
• 限日：指历法中规定的某个时间段的日数。
• 余：古代天文历法计算中的余分，通常表示不足一日的零头部分，以分数形式记录。

〔48〕夏至后缩初冬至后盈末限日：九十三、余八千五百五十二。

夏至之后的缩初阶段和冬至之后的盈末阶段的时间长度都是九十三天又八千五百五十二分。

• 缩初：指太阳运行速度减慢阶段的开始部分，古历法中划分的时段之一。
• 盈末：指太阳运行速度加快阶段的末尾部分，古历法中划分的时段之一。
• 限日：指限定或划分的时间段的天数。
• 余：余数，不满一日的零头，通常以分、秒等小数单位表示。
• 盈缩理论：中国古代历法将太阳周年运动的速度变化分为盈（加快）和缩（减慢），冬至后为盈段，夏至后为缩段。初限和末限是对这些阶段的进一步细分，用以精确计算太阳位置。此处提到的数据即来自这种历法体系。

〔49〕求每日盈缩分：置入二至后全日，各在初限已下为初限；已上，用减二至限，余为末限。列初、末限日及分于上，倍初、末限日及约分于下，相减相乘。求盈缩分者，在盈初、缩末，以三千二百九十四除之。在盈末、缩初，以三千六百五十九除之，皆为度，不满，退除为分秒。求朏朒积者，各退二位，在盈初缩末，以三百六十六而一；在盈末缩初，以四百七而一，各得所求。以盈缩相减，余为升降分；（盈初缩末为升，缩初盈末为降。）以朏朒积相减，余为损益率。（在初为益，在末为损。）

要求每天的盈缩分数，先确定从冬至或夏至开始的总天数。把总天数跟初限比较：如果小于或等于初限，就算是初限；如果大于初限，就减去二至限，剩下的就是末限。把初限和末限的天数以及它们的小数部分（约分）写在上面一行，把初限和末限的天数以及小数部分都翻倍写在下面一行，然后把上下两行的数相减，再相乘。求盈缩分时，如果属于“盈初缩末”的情况，就用刚才乘出的结果除以3294；如果属于“盈末缩初”的情况，就除以3659，所得结果是度数，如果不够一度，就退位换算成分和秒。求朏朒积时，先把刚才乘出的结果退两位（也就是除以100），然后如果是在盈初缩末的情况下，除以366；在盈末缩初的情况下，除以407，分别得到所需数值。把盈和缩相减，余数就是升降分（盈初缩末对应升，缩初盈末对应降）。把朏朒积相减，余数就是损益率（在初限阶段叫益，在末限阶段叫损）。

• 盈缩分：表示太阳实际运动与平均运动之间的差值，盈指快于平均，缩指慢于平均。
• 二至：指冬至和夏至，太阳分别到达南回归线和北回归线，是中国古代历法中划分四季的重要节气。
• 二至限：从冬至到下一个中气或从夏至到下一个中气的日数，作为划分初限和末限的标准天数。
• 朏朒：原指月亮初现（朏）和月末昏暗（朒），后用作描述月亮运行速度变化的术语，这里借指月球运动迟疾。
• 朏朒积：表示月球实际运动与平均运动之间的累积差值，朏指月初见，朒指月将尽，借指月球运动的不均匀性。
• 升降分：每天太阳运动比平均快慢的差值，升表示快于平均，降表示慢于平均。
• 初限、末限：将从二至开始的一段时期分成前后两段，前半段叫初限，后半段叫末限。

〔50〕求经朔弦望入盈缩限：置天正闰日及余，减缩末限日及余，为天正十一月经朔入缩末限日及余；以弦策累加之，满盈缩限日去之，即各得弦望及次朔入盈缩限日及余秒。

计算经朔和各个弦望日进入盈缩限的方法：先设定天正十一月的闰日及其余数，减去缩末限的日数及其余数，就得到天正十一月这月经朔进入缩末限的日数及其余数；然后依次累加弦策（即相邻弦望之间的天数），如果累加结果满一个盈缩限的日数，就减去这个限数，这样就能分别得到弦望日和下一个朔日进入盈缩限的日数及其余秒。

• 经朔：指按照月球平均运动计算出来的朔日，即不考虑月球运行不均匀情况的平朔。
• 盈缩限：月球运行快慢的周期，传统历法中认为月球在一段时期内运行较快（盈），另一段时期运行较慢（缩），盈缩限即此周期的日数。
• 天正：古代历法术语，指冬至所在的月份，通常作为历算的起点。
• 天正闰日：历法中的特殊设置，指天正十一月（冬至所在月）的闰余日数，用于调整阴阳历的差距。
• 缩末限：缩限的末端，即月球运行变慢阶段的最后一段限期。
• 弦策：弦望的策数，即从一个弦或望到下一个弦或望之间的时间间隔，通常为7天或14天左右。

〔51〕求经朔弦望朏朒定数：各置所入盈缩限日小余，以其日下损益率乘之，如统法而一，所得，损益其下朏朒积为定数。

求经朔、弦、望的朏朒定数的方法：分别将各自所对应的盈缩限日的小余部分，乘以当天规定的损益率，再除以统法，得到的结果用来调整该限下的朏朒积，这样就能得出定数。

• 经朔弦望：古代历法中四个主要月相：经朔（平朔）、上弦、下弦、望（满月），是历法推算的重要节点。
• 朏朒：出自唐代《大衍历》，是僧一行创立的历法系统，用以修正月亮运动的不均匀性。
• 盈缩限：太阳运行速度变化的范围，分为盈限和缩限，用来描述太阳运动快慢的限度。
• 损益率：指每天增减的比率，用来修正计算的数值。
• 统法：历法中使用的一个常数，作为除数来统一计算。