应天历、乾元历和仪天历这三部历法。
〔2〕古者帝王之治天下，以律历为先。儒者之通天人，至律历而止。历以数始，数自律生，故律历既正，寒暑以节，岁功以成，民事以序，庶绩以凝，万事根本，由兹立焉。古人自入小学，知乐知数，已晓其原。后世老师宿儒犹或弗习律历，而律历之家未必知道，各师其师，岐而二之。虽有巧思，岂能究造化之统会，以识天人之蕴奥哉！是以审律造历，更易不常，卒无一定之说。治效之不古若，亦此之由，而世岂察及是乎！
古代帝王治理天下，最先看重的是律历。儒家学者要通晓天人关系，到了解律历就差不多了。历法起源于数字，数字从乐律衍生出来，所以只要律历正确，寒暑就能调节，一年的收成就能完成，百姓的事情就有条理，各种功业就能实现，万事的根本就在这里建立起来了。古人从小进入学校，就学习音乐和算术，已经懂得了其中的原理。后世的老师傅和老儒生有的还不懂律历，而研究律历的人又不一定明白道理，各自跟自己的老师学，分成了两派。就算有巧妙的智慧，又怎么能探究自然造化的整体运行，去认识天与人的深奥秘密呢？所以审定音律、编制历法，经常变化，始终没有统一的说法。治理的效果不如古代，也是因为这个缘故，而世人又怎能想到这一点呢！
〔3〕宋初承五代之季王朴制律历、作律准，以宣其声，太祖以雅乐声高，诏有司考正。和岘等以影表铜臬暨羊头秬黍累尺制律，而度量权衡因以取正。然累代尺度与望臬殊，黍有巨细，纵横容积，诸儒异议，卒无成说。至崇宁中，徽宗任蔡京，信方士“声为律、身为度”之说，始大盭乎古矣。
宋朝初年沿袭五代末年的做法，王朴制定了律历和律准，用来宣扬声律。宋太祖因为雅乐的音高偏高，下诏令有关部门考证订正。和岘等人利用影表铜臬和羊头秬黍，通过累积尺寸来制定律管，度量衡也因此而校正。但是历代使用的尺度与望臬不同，黍子有大有小，纵横排列的容积也有差别，学者们意见分歧，始终没有定论。到了崇宁年间，宋徽宗任用蔡京，听信方士“以声为律、以身为度”的说法，才开始大大违背了古制。
〔4〕显德《钦天历》亦朴所制也，宋初用之。建隆二年961，以推验稍疏，诏王处讷等别造新历。四年963，历成，赐名《应天》，未几，气候渐差。太平兴国四年979，行《乾元历》，未几，气候又差。继作者曰《仪天》，曰《崇天》，曰《明天》，曰《奉元》，曰《观天》，曰《纪元》，迨靖康丙午，百六十余年，而八改历。南渡之后，曰《统元》，曰《乾道》，曰《淳熙》，曰《会元》，曰《统天》，曰《开禧》，曰《会天》，曰《成天》，至德祐丙子，又百五十年，复八改历。使其初而立法吻合天道，则千岁日至可坐而致，奚必数数更法，以求幸合玄象哉！盖必有任其责者矣。
显德年间的《钦天历》也是王朴编制的，宋朝刚建立时用了它。建隆二年，因为推算检验有点不准确，皇帝就下诏让王处讷等人另外造新历。四年后历法完成，赐名叫《应天》，没过多久，节气物候就渐渐出现偏差。太平兴国四年，推行《乾元历》，没过多久，气候又有偏差。接下来制作的历法有《仪天》、《崇天》、《明天》、《奉元》、《观天》、《纪元》，到靖康丙午年，一百六十多年间，改了八次历法。南渡以后，有《统元》、《乾道》、《淳熙》、《会元》、《统天》、《开禧》、《会天》、《成天》，到德祐丙子年，又过了一百五十年，又改了八次历法。如果当初立法时就符合天文规律，那么千年后的冬至日都可以坐着推算出来，何必多次更改历法，来侥幸符合天象呢！这大概一定是有负责的人吧。
〔5〕虽然，天步惟艰，古今通患，天运日行，左右既分，不能无忒。谓七十九年差一度，虽视古差密，亦仅得其概耳。又况黄、赤道度有斜正、阔狭之殊，日月运行有盈缩、朏朒、表里之异。测北极者，率以千里差三度有奇，晷景称是。古今测验，止于岳台，而岳台岂必天地之中？余杭则东南，相距二千余里，华夏幅员东西万里，发敛晷刻岂能尽谐？又造历者追求历元，逾越旷古，抑不知二帝授时齐政之法，毕殚于是否乎？是亦儒者所当讨论之大者，诿曰星翁历生之责可哉？至于仪象推测之具，虽亦数改，若熙宁沈括之议、宣和玑衡之制，其详密精致有出于淳风、令瓒之表者，盖亦未始乏人也。今其遗法具在方册，惟《奉元》《会天》二法不存。旧史以《乾元》《仪天》附《应天》，今亦以《乾道》《淳熙》《会元》附《统元》，《开禧》《成天》附《统天》。大抵数异术同，因仍增损，以追合乾象，俱无以大相过，备载其法，俾来者有考焉。
话虽如此，天体的运行非常艰难，这是古今共同的难题。天体运动和太阳的视运动，分作左右不同的方向，就不能没有误差。有人说，每七十九年就差一度，虽然比古代的测算误差更小，但也只是得到大概而已。更何况黄道和赤道的度数有斜正、宽窄的不同，太阳和月亮的运行有快慢、盈亏、内外的差异。测量北极星高度的人，通常认为相隔一千里，北极星高度就差三度多，日影长度也与此相应变化。古今的测验都局限于岳台，但岳台难道一定是天下的中心吗？余杭在东南方，距岳台二千多里，华夏疆土东西万里，日出日落的时刻和日影的变化怎能完全一致呢？另外，制历者追求一个理想的历法起点，追溯到远古，却不知尧、舜二帝观测天时、统一政令的方法，是否全部体现在这里呢？这也是儒者应当讨论的重要问题，把责任推给星象家、历法家，难道可以吗？至于天文仪器和推测的器具，虽然也多次改动，比如熙宁年间沈括的建议、宣和年间浑仪的制造，它们的详细周密精致，有超过李淳风、令瓒（张渊）的，似乎也不是一直缺乏人才。现在这些留传下来的方法都记载在典籍中，只有《奉元历》和《会天历》两种不存。旧史把《乾元历》《仪天历》附在《应天历》之后，现在也把《乾道历》《淳熙历》《会元历》附在《统元历》之后，《开禧历》《成天历》附在《统天历》之后。大致上，数值不同而方法相同，都是沿袭旧法加以增减，以追求符合天象，都没有很大的超越。详细记载这些方法，是为了让后来的人有参考依据。
〔6〕昔黄帝作律吕，以调阴阳之声，以候天地之气。尧则钦若历象，以授人时，以成岁功，用能综三才之道，极万物之情，以成其政化者也。至司马迁、班固叙其指要，著之简策。自汉至隋，历代祖述，益加详悉。暨唐贞观迄周显德，五代隆替，逾三百年，博达之士颇亦详缉废坠，而律志皆阙。宋初混一寓内，能士毕举，国经王制，悉复古道。《汉志》有备数、和声、审度、嘉量、权衡之目，后代因之，今亦用次序以志于篇。
从前黄帝创制了律吕，用来调和阴阳的声音，观测天地的气息。尧遵循历象，用来授予百姓时节，完成一年的农业功业，从而能够综合天、地、人的道理，穷尽万物的情状，以成就他的政治教化。到了司马迁、班固，他们叙述了其中的要旨，写在书册上。从汉到隋，历代遵循阐述，更加详细完备。从唐贞观到后周显德，五代兴衰交替，超过三百年，博学通达的人也很详细地整理废弃缺失的典籍，但关于律历的志书都缺失。宋朝初年统一天下，有才能的人都被举用，国家的经典和帝王制度，全部恢复古道。《汉书·律历志》有备数、和声、审度、嘉量、权衡这些条目，后代沿用它们，现在也按次序记载在篇中。
〔7〕曰备数。《周礼》，保氏教国子以六艺，其六曰九数，谓方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢朒、旁要，是为九章。其后又有《海岛》《孙子》《五曹》《张丘建》《夏侯阳》《周髀》《缀术》《缉古》等法相因而起，历代传习，谓之小学。唐试右千牛卫胄曹参军陈从运著《得一算经》，其术以因折而成，取损益之道，且变而通之，皆合于数。复有徐仁美者，作《增成玄一法》，设九十三问，以立新术，大则测于天地，细则极于微妙，虽粗述其事，亦适用于时。古者命官属于太史，汉、魏之世，皆在史官。隋氏始置算学博士于国庠，唐增其员，宋因而不改。
说到算学（数学）的完备。根据《周礼》，保氏用六艺教育贵族子弟，其中第六项是九种数学方法，叫做方田（土地面积计算）、粟米（粮食比例换算）、差分（分配问题）、少广（开平方、开立方）、商功（工程体积计算）、均输（运输分配均衡）、方程（解方程组）、赢朒（盈不足问题）、旁要（勾股测量），这就是九章。后来又有《海岛算经》《孙子算经》《五曹算经》《张丘建算经》《夏侯阳算经》《周髀算经》《缀术》《缉古算经》等算法相继出现，历代传承学习，被称为小学。唐代考上右千牛卫胄曹参军的陈从运写了《得一算经》，他的方法通过因乘折除来形成，采用增减的规律，而且灵活变通，都符合数学原理。还有徐仁美，写了《增成玄一法》，设立了九十三个问题，用以创建新的算法，大的方面可以测量天地，小的方面可以穷尽极其微细的事物，虽然只是粗略记述了这些内容，但也适用于当时。古代管理数学的官员隶属于太史，汉朝和曹魏时期，都属于史官。隋朝开始在国子监设置算学博士，唐朝增加了名额，宋朝沿袭没有改变。
〔8〕曰和声。《周礼》，典同掌六律六同之和，凡为乐器，以十有二律为之数度。古之圣人推律以制器，因器以宣声，和声以成音，比音而为乐。然则律吕之用，其乐之本欤！以其相生损益，数极精微，非聪明博达，则罕能详究。故历代而下，其法或存或阙，前史言之备矣。周显德中，王朴始依周法，以秬黍校正尺度，长九寸，虚径三分，为黄钟之管，作律准以宣其声。宋乾德中，太祖以雅乐声高，诏有司重加考正。时判太常寺和岘上言曰：“古圣设法，先立尺寸，作为律吕，三分损益，上下相生，取合真音，谓之形器。但以尺寸长短非书可传，故累秬黍求为准的，后代试之，或不符会。西京铜望臬可校古法，即今司天台影表铜臬下石尺是也。及以朴所定尺比校，短于石尺四分，则声乐之高，盖由于此。况影表测于天地，则管律可以准绳。”上乃令依古法，以造新尺并黄钟九寸之管，命工人校其声，果下于朴所定管一律。又内出上党羊头山秬黍，累尺校律，亦相符合。遂下尚书省集官详定，众议佥同。由是重造十二律管，自此雅音和畅。
说到和声。《周礼》记载，典同负责掌管六律六同的协调，凡是制作乐器，都以十二律的度数作为标准。古代的圣人根据音律创制乐器，借助乐器发出声音，调和声音形成曲调，编排曲调成为音乐。可见，音律的运用，大概是音乐的根本吧！因为音律通过相生和损益，数字极其精微，不是聪明博达的人，很少能详细研究。所以历代以来，这个方法有时保存有时缺失，前代史书记载得很完备了。后周显德年间，王朴开始依照周代的法度，用黑黍来校正尺度，管长九寸，内径三分，作为黄钟管，制作律准来导出它的声音。北宋乾德年间，宋太祖认为雅乐声音偏高，诏令有关部门重新考核审定。当时判太常寺和岘上奏说：‘古代圣人制定法则，先确立尺寸，作为律管，用三分损益，上下相生，得到符合真音的音调，这称为形器。但是因为尺寸长短无法通过书籍传承，所以累积黑黍来求得标准，后代尝试，有时不吻合。西京的铜望臬可以用来校正古法，就是现在司天台的影表铜臬下面的石尺。等到用王朴所定的尺寸与之比较，比石尺短四分，那么声乐偏高的原因，大概就在这里。况且影表是测量天地的，那么管律就可以用它作为准则。’皇上于是命令依照古法，制造新尺和黄钟九寸的管，命工人校对声音，果然比王朴所定的管低一律。又从宫内取出上党羊头山产的黑黍，累尺校核律管，也相符合。于是交由尚书省集中官员详细审定，大家的意见一致。从此重新制作十二律管，从此雅音和谐流畅。
〔9〕曰审度者，本起于黄钟之律以秬黍中者度之，九十黍为黄钟之长，而分、寸、尺、丈、引之制生焉。宋既平定四方，凡新邦悉颁度量于其境，其伪俗尺度逾于法制者去之。乾德中，又禁民间造者。由是尺度之制尽复古焉。
说到长度标准，原本起源于黄钟的律管，用中等大小的秬黍来测量，九十粒黍排列的长度就是黄钟律管的长度，由此产生了分、寸、尺、丈、引这些长度单位。宋朝平定天下以后，凡是新归顺的地区，都向那里颁发标准度量衡，那些超越法定标准的伪俗尺度都被废除。乾德年间，又禁止民间私造度量衡。从此，长度制度完全恢复了古制。