〔1〕自夫有天地焉，有人物焉，树司牧以君临，悬政教而成务，莫不拟乾坤之大象，禀中和以建极，揆影响之幽赜，成律吕之精微。是用范围百度，财成万品。昔者淳古苇籥，创睹人籁之源，女娲笙簧，仍昭凤律之首。后圣广业，稽古弥崇，伶伦含少，乃擅比竹之工，虞舜昭华，方传刻玉之美。是以《书》称：“叶时月正日，同律度量衡。”又曰：“予欲闻六律、五声、八音、七始咏，以出纳五言。”此皆候金常而列管，凭璇玑以运钧，统三极之元，纪七衡之响，可以作乐崇德，殷荐上帝。故能动天地，感鬼神，和人心，移风俗，考得失，徵成败者也。粤在夏、商，无闻改作。其于《周礼》，曲同则“掌六律六同之和，以辨天地四方阴阳之声，以为乐器。”景王铸钟，问律于泠州鸠，对曰：“夫律者，所以立钧出度。”钧有五，则权衡规矩准绳咸备。故《诗》曰：“尹氏太师，执国之钧，天子是裨，俾众不迷”是也。太史公《律书》云：“王者制事立物，法度轨则，一禀于六律，为万事之本。其于兵械，尤所重焉。故云：‘望敌知吉凶，闻声效胜负。”百王不易之道也。”
自从有了天地，就有了人类和万物。设立君主来统治天下，推行政教来完成事务，无不模仿天地的宏大形象，秉承中和之道来建立准则，探究事物影响的幽深精微，成就音律的精细微妙。因此用来规范各种制度，造就万物。远古时代，淳朴的苇籥，首次展现了人声的源头；女娲制作的笙簧，又彰显了凤律的起始。后来的圣人扩大事业，考察古制更加推崇，伶伦（乐官）含少（律名），擅长排列竹管的技艺；虞舜的昭华（乐器），才传下刻玉的华美。所以《尚书》说：“协调时令月日，统一律度量衡。”又说：“我想听六律、五声、八音、七始的咏唱，用以出纳五言。”这些都是观测金常（天象）而排列管乐器，凭借璇玑（天文仪器）来运转钧（音律标准），统摄天、地、人三极的元始，记录七衡（天体轨道）的声音，可以用来制作音乐、崇尚德行，隆重地祭祀上帝。所以能感动天地，感通鬼神，调和人心，移风易俗，考察得失，验证成败。在夏朝和商朝，没有听说有改作。在《周礼》中，曲同则说：“掌管六律六同的和谐，以辨别天地四方阴阳的声音，作为乐器。”周景王铸造钟，向泠州鸠询问音律，泠州鸠回答说：“律，是用来确立标准、产生度量的。”标准有五，那么权衡、规矩、准绳就都完备了。所以《诗经》说：“尹氏太师，执掌国家的标准，天子依靠他，使众人不迷惑。”太史公司马迁的《律书》说：“帝王制定事务、建立万物，法度规则一律禀承于六律，这是万事的根本。对于兵器，尤其重视。所以说：‘望见敌人能知道吉凶，听到声音能判断胜负。’这是百王不可改变的道理。”
〔2〕及秦氏灭学，其道浸微。汉室初兴，丞相张苍，首言音律，未能审备。孝武帝创置协律之官，司马迁言律吕相生之次详矣。及王莽之际，考论音律，刘歆条奏，班固因志之。蔡邕又记建武以后言律吕者，司马绍统采而续之。炎历将终，而天下大乱，乐工散亡，器法湮灭。魏武始获杜夔，使定音律，夔依当时尺度，权备典章。及晋武受命，遵而不革。至泰始十年，光禄大夫荀勖，奏造新度，更铸律吕。元康中，勖子藩复嗣其事。未及成功，属永嘉之乱，中朝典章，咸没于石勒。及帝南迁，皇度草昧，礼容乐器，扫地皆尽。虽稍加采掇，而多所沦胥，终于恭、安，竟不能备。宋钱乐之衍京房六十律，更增为三百六十，梁博士沈重，述其名数。后魏、周、齐，时有论者。今依班志，编录五代声律度量，以志于篇云。
到了秦朝，学术被毁灭，音律之道逐渐衰微。汉朝刚兴起时，丞相张苍首先谈论音律，但未能详尽完备。汉武帝设立了协律的官职，司马迁详细讲述了律吕相生的次序。到了王莽时期，考论音律，刘歆条列上奏，班固因此记载在《汉书》中。蔡邕又记载了建武以后谈论律吕的人，司马绍统采集并续写。汉朝（火德）将终，天下大乱，乐工散失逃亡，乐器和方法都湮灭失传。魏武帝曹操开始得到杜夔，让他制定音律，杜夔依据当时的尺度，暂时完备了典章制度。到了晋武帝受命，遵循而不改变。到泰始十年，光禄大夫荀勖上奏制造新的尺度，重新铸造律吕。元康年间，荀勖的儿子荀藩继续承担其事。还没成功，遭遇永嘉之乱，中原的典章制度，都沦没于石勒之手。等到皇帝南迁，皇朝制度草创，礼容乐器，扫地殆尽。虽然稍稍收集，但大多沦丧，直到恭帝、安帝时期，终究未能完备。南朝宋的钱乐之推衍京房的六十律，更增加为三百六十律，梁朝的博士沈重，叙述其名称和数目。后魏、北周、北齐，不时有讨论的人。现在依照班固的《律历志》，编录五代（宋、齐、梁、陈、隋）的声律度量，记载在篇章中。
〔3〕《汉志》言律，一曰备数，二曰和声，三曰审度，四曰嘉量，五曰衡权。自魏、晋已降，代有沿革。今列其增损之要云。
《汉书·律历志》谈论音律，第一是完备数字，第二是调和声音，第三是审察长度，第四是标准容量，第五是权衡重量。从魏晋以来，历代都有沿袭和变革。现在列出它们增减的要点。
〔4〕五数者，一、十、百、千、万也。《传》曰：“物生而后有象，滋而后有数。”是以言律者，云数起于建子，黄钟之律，始一，而每辰三之，历九辰至酉，得一万九千六百八十三，而五数备成，以为律法。又参之，终亥，凡历十二辰，得十有七万七千一百四十七，而辰数该矣，以为律积。以成法除该积，得九寸，即黄钟宫律之长也。此则数因律起，律以数成，故可历管万事，综核气象。其算用竹，广二分，长三寸，正策三廉，积二百一十六枚，成六觚，乾之策也。负策四廉，积一百四十四枚，成方，坤之策也。觚方皆经十二，天地之大数也。是故探赜索隐，钩深致远，莫不用焉。一、十、百、千、万，所同由也。律、度、量、衡、历、率，其别用也。故体有长短，检之以度，则不失毫厘；物有多少，受之以器，则不失圭撮；量有轻重，平之以权衡，则不失黍丝；声有清浊，协之以律吕，则不失宫商；三光运行，纪以历数，则不差晷刻；事物糅见，御之以率，则不乖其本。故幽隐之情，精微之变，可得而综也。
五数，就是一、十、百、千、万。《左传》说：“事物产生后才有形象，增长后才有数字。”所以谈论音律的人说，数字起始于建子（子月），黄钟的律管，开始为一，每辰乘以三，经过九辰到酉，得到一万九千六百八十三，五数就完备了，以此作为律法。再乘以三，到亥结束，共经过十二辰，得到十七万七千一百四十七，辰数就完备了，以此作为律积。用成法去除该积，得到九寸，就是黄钟宫律的长度。这就是数字因律而兴起，律因数字而成就，所以可以贯穿万事，综合考察气象。计算用竹筹，宽二分，长三寸，正策三棱，共二百一十六枚，构成六觚，这是乾的策数；负策四棱，共一百四十四枚，构成方形，这是坤的策数。觚和方都是直径十二，这是天地的大数。所以探索幽深隐微，钩取深奥致远，没有不用到的。一、十、百、千、万，是共同遵循的路径。律、度、量、衡、历、率，是分别的用途。所以物体有长短，用度来检验，就不会差毫厘；物体有多少，用容器来盛装，就不会差圭撮；重量有轻重，用权衡来平衡，就不会差黍丝；声音有清浊，用律吕来协调，就不会差宫商；日月星辰运行，用历数来记录，就不会差片刻；事物混杂出现，用比率来驾驭，就不会违背其根本。所以幽隐的情况，精微的变化，都可以综合把握。
〔5〕夫所谓率者，有九流焉：一曰方田，以御田畴界域。二曰栗米，以御交质变易。三曰衰分，以御贵贱廪税。四曰少广，以御积幂方圆。五曰商功，以御功程积实。六曰均输，以御远近劳费。七曰盈肭，以御隐杂互见。八曰方程，以御错糅正负。九曰句股，以御高深广远。皆乘以散之，除以聚之，齐同以通之，今有以贯之。则算数之方，尽于斯矣。
所谓比率，有九种流派：第一叫方田，用来处理田亩的边界和面积。第二叫栗米，用来处理交易兑换。第三叫衰分，用来处理贵贱和赋税。第四叫少广，用来处理体积和面积方圆。第五叫商功，用来处理工程和容积。第六叫均输，用来处理远近的劳役费用。第七叫盈肭，用来处理隐藏和混杂的问题。第八叫方程，用来处理交错和正负的问题。第九叫句股，用来处理高度、深度、宽度和距离。这些都是用乘法来分散，用除法来聚集，用通分来统一，用今有术来贯穿。那么算数的方法，就都在这里了。
〔6〕古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。又设开差幂，开差立，兼以正圆参之。指要精密，算氏之最者也。所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。
古代的九数（算术方法），圆周率用三，直径率用一，这个方法粗略有误。从刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗这些人，各自设立新的圆周率，但都没有达到折中。南朝宋末，南徐州从事史祖冲之，更进一步开创了精密的方法，以圆直径一亿为一丈，圆周的盈数（过剩近似值）是三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数（不足近似值）是三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，真数在盈和朒两个界限之间。密率是圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率是圆径七，圆周二十二。又设立了开差幂（开平方）、开差立（开立方），并兼用正圆来参证。他的指要精密，是算学家中最杰出的。他所著的书叫《缀术》，学官们不能探究其深奥，所以废弃而不研习。