〔2〕造历者各有本原，史宜备录，使后世有以考。如《太初》之起数钟律，《大衍》之造端蓍策，皆详本志。《授时历》以测算术为宗，惟求合天，不牵合律吕、卦爻。然其法之所以立，数之所从出，以及晷影、星度，皆有全书。郭守敬、齐履谦传中，有书名可考。《元史》漫无采摭，仅存李谦之《议禄》《历经》之初稿。其后改三应率及立成之数，与夫割圆弧矢之法，平立定三差之原，尽削不载。使作者精意湮没，识者憾焉。今据《大统因通轨》及《历草》诸书，稍为编次，首法原，次立成，次推步。而法原之目七：曰句股测望，曰弧矢割圆，曰黄赤道差曰黄赤道内外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰里差刻漏。
制定历法的人都有自己的理论基础，史书应该详细记录，让后世能够考证。比如《太初历》以音律为起点，《大衍历》以蓍草占筮为开端，这些都在本志中详细记载了。《授时历》以测算技术为主，只求符合天象，不牵强附会音律、卦爻。但是它的方法是如何建立的，数据是如何得出的，以及日影、星宿度数，都有完整的著作。在郭守敬、齐履谦的传记中，有书名可以查考。《元史》却随意摘录，只保存了李谦的《议禄》《历经》的初稿。后来修改的“三应率”和“立成”的数据，以及割圆弧矢的方法、平立定三差的原理，全都删去不载。使得作者的精义被埋没，有见识的人对此感到遗憾。现在根据《大统因通轨》和《历草》等书，稍加编排，首先是法原，其次是立成，再次是推步。而法原分为七个部分：勾股测望、弧矢割圆、黄赤道差、黄赤道内外度、白道交周、日月五星平立定三差、里差刻漏。
〔3〕北京立四丈表，冬至日午正，测得景辰七丈九尺八寸五分。随以简仪测到太阳南至地平二十六度四十六分半，为半弧背。求得矢度，五度九十一分半。置周天半径，截矢余五十四度九十六分为股，乃本地支戴日下之度。以弦股别句术，求得句二十六度一下七分六十六秒，为日出地半弧弦。
在北京立起四丈高的表杆，冬至日正午时分，测得表影长度为七丈九尺八寸五分。接着用简仪测量到太阳南至地平的高度为二十六度四十六分半，这就是半弧背。由此求得矢度为五度九十一分半。取周天半径，减去矢度后剩余五十四度九十六分作为股，这就是本地太阳直射点以下的度数。用弦和股分别求勾的方法，求得勾为二十六度一分七分六十六秒，这就是日出地平线的半弧弦。
〔4〕北京立四丈表，夏至日午正，测得景长一丈一尺七寸一分。随以简仪测到太阳南至地平七十四度二十六分半，为半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。置周天半径，截矢余一十七度一十三分二十五秒为句，乃本地去戴日下之度。以句弦别股术，求得股五十八度四十五分半，为日出地半弧弦。
在北京立起四丈高的表杆，夏至日正午时分，测得表影长度为一丈一尺七寸一分。接着用简仪测量到太阳南至地平的高度为七十四度二十六分半，这就是半弧背。由此求得矢度为四十三度七十四分少。取周天半径，减去矢度后剩余一十七度一十三分二十五秒作为勾，这就是本地太阳直射点以上的度数。用勾和弦分别求股的方法，求得股为五十八度四十五分半，这就是日出地平线的半弧弦。
〔5〕以二至日度相并，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，为北京赤道出地度。以赤道出地度转减周天四之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，为北京北极出地度。
将冬至和夏至的太阳高度角相加，得到一百度七十三分，折半得到五十度三十六分半，这就是北京赤道出地的高度。用赤道出地高度减去周天四分之一（即九十度），剩余四十度九十四分九十三秒七十五微，这就是北京北极出地的高度。
〔6〕周天经一百二十一度七十五分少。（少不用。）半径六十零度八十七分半。（又为黄赤道大弦。）二至黄赤道内外半弧背二十四度。（所测就整。）二至黄赤道弧矢四度八十四分八十二秒。黄赤道大句二十三度八十分七十秒。黄赤道大股五十六度零二分六十八秒。（半径内减去矢度之数。）
周天直径是一百二十一度七十五分少（少不采用）。半径是六十度八十七分半（也作为黄赤道的大弦）。冬至和夏至时黄赤道内外半弧背是二十四度（测量取整）。冬至和夏至时黄赤道弧矢是四度八十四分八十二秒。黄赤道大勾是二十三度八十分七十秒。黄赤道大股是五十六度零二分六十八秒（这是半径减去矢度后的数值）。
〔7〕割圆求矢术 置半弧背度自之，为半弧背幕，周天径自之，为上廉。上廉乘半弧背幕，为正实。上廉乘径，为益从方。半弧背倍之，乘径，为下廉。以初商乘上廉，得数以减益从方，余为从方。置初商自之以减下廉，余以初商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘初商，以减正实，实不足减，改初商。实有不尽，次第商除之。倍初商数，与次商相并以乘上廉，得数以减益从方，余为从方。并初商次商而自之，又以初商自之，并二数以减下廉，余以初商倍数并次商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘次商，以减余实，而定次商。有不尽者，如法商之，皆以商得数为矢度之数。（黄赤道同用。）
割圆法求矢度的方法：将半弧背的度数自乘，得到半弧背的平方；将周天直径自乘，得到上廉。用上廉乘以半弧背的平方，得到正实。用上廉乘以直径，得到益从方。将半弧背加倍，乘以直径，得到下廉。用初商乘以上廉，得到的数从益从方中减去，剩余的是从方。将初商自乘，然后从下廉中减去，剩余的数再乘以初商，得到从廉。将从方和从廉相加，得到下法。用下法乘以初商，从正实中减去，如果正实不够减，就调整初商。如果正实还有剩余，就依次用商除法继续。将初商加倍，与次商相加，再乘以上廉，得到的数从益从方中减去，剩余的是从方。将初商和次商相加后自乘，再加上初商的自乘，然后将这两个数从下廉中减去，剩余的数乘以初商的倍数再加上次商，得到从廉。将从方和从廉相加，得到下法。用下法乘以次商，从余实中减去，从而确定次商。如果还有剩余，就按同样的方法继续商除，每次商得的数就是矢度。（黄道和赤道都适用。）
〔8〕如以半弧背一度求矢度。术曰：置半弧背一度自之，得一度，为半弧背幕。置周天径一百二十一度太自之，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，为上廉。上廉乘半弧背幕，得一万四千八百二十三度零六分二五，为正实。上廉又乘径，得一百八十零万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，为益从方。半弧背一度倍之，得二度，以乘径得二百四十三度五十分，为下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，以减益从方一百八十零万四千七百零七度八五九三七五，余一百八十零万四千五百八十九度二七四八七五，为从方。又置初商八十秒自之，得六十四微，以减下廉余二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之，得一度九四七九九九四八八，为从廉。以从廉、从方并之，共得一百八十零万四千五百九十一度二二二八七四四八八，为下法。下法乘初商，得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，以减正实，余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初商八十秒倍之，得一分六十秒。加次商二秒得一分六十二秒，乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得二百四十零度一三三六一二五，以减益从方，余一百八十零万四千四百六十七度七二五七六二五，为从方。又置初次商八十二秒自之，得六十七微。加初商八十秒自之之数，得一秒三十一微，以减下廉，余二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，为从廉。以从廉、从方并，得一百八十零万四千四百七十一度六十七分零四六零三七八，为下法。下法乘次商，得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六，以减余实，仍余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。（不足一秒叶不用，下同。）
比如用半弧背一度来求矢度。方法：将半弧背一度自乘，得到一度，作为半弧背的平方。将周天直径一百二十一度太自乘，得到一万四千八百二十三度零六分二十五秒，作为上廉。上廉乘以半弧背的平方，得到一万四千八百二十三度零六分二五，作为正实。上廉再乘以直径，得到一百八十万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，作为益从方。半弧背一度加倍，得到二度，乘以直径得到二百四十三度五十分，作为下廉。初商设为八十秒。将初商八十秒乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五，得到一百一十八度五八四五，从益从方一百八十万四千七百零七度八五九三七五中减去，剩余一百八十万四千五百八十九度二七四八七五，作为从方。再将初商八十秒自乘，得到六十四微，从下廉减去后剩余二百四十三度四九九三六。再乘以八十秒，得到一度九四七九九九四八八，作为从廉。将从廉和从方相加，共得到一百八十万四千五百九十一度二二二八七四四八八，作为下法。下法乘以初商，得到一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，从正实中减去，剩余实为三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商设为二秒。将初商八十秒加倍，得到一分六十秒。加上次商二秒得到一分六十二秒，乘以上廉一万四千八百二十三度零六二五，得到二百四十度一三三六一二五，从益从方中减去，剩余一百八十万四千四百六十七度七二五七六二五，作为从方。再将初次商八十二秒自乘，得到六十七微。加上初商八十秒自乘的数，得到一秒三十一微，从下廉减去后剩余二百四十三度四九九八六九。用之前得到的一分六十二秒乘以上述剩余，得到三度九十四分四六九七八七七八，作为从廉。将从廉和从方相加，得到一百八十万四千四百七十一度六十七分零四六零三七八，作为下法。下法乘以次商，得到三百六十度八九四三三四零九二零七五五六，从余实中减去，仍然剩余二十五度四三八三八二九一二零二零四四（不足一秒就不用了，下面相同）。
〔9〕凡求得矢度八十二秒，余度各如上法，求到矢度，以为黄赤相求及其内外度之根。（数详后。）
凡是求得矢度为八十二秒，其余度数都按照上面的方法，求得的矢度，作为黄道和赤道相互推算以及它们内外度的基础。（具体数值在后面详述。）
〔10〕求黄赤道各度下赤道积度术。 置周天半径内减去黄道矢度，余为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以黄赤道大股乘之（大股见割圆）为实。黄赤道大弦（半径）为法。实如法而一，为黄赤道小股。置黄道矢自乘为实，以周天全径为法，实如法而一，为黄道半背弦差。以差去减黄赤道积度，（即黄道半弧背。）余为黄道半弧背。置黄赤道半弧弦自之为股幕，黄赤道小股自之为句幕，二幕并之，以开平方法除之，为赤道小弦。置黄赤道半弧弦，以周天半径（亦为赤道大弦）乘之为实，以赤道小弦为法而一，为赤道半弧弦。置黄赤道小股，（亦为赤道横小句）以赤道大弦（即半径）乘之为实，以赤道小弦为法而一，为赤道横大句，以减半径，余为赤道磺弧矢。横弧矢自之为实，以全径为法而一，为赤道半背弦差。以差加赤道半弧，为赤道积度。
求黄道各度下对应的赤道积度的方法。取周天半径减去黄道矢度，剩余的是黄赤道小弦。将黄赤道小弦乘以黄赤道大股（大股见割圆部分），作为被除数。以黄赤道大弦（即半径）作为除数，相除得到黄赤道小股。将黄道矢自乘作为被除数，以周天全径作为除数，相除得到黄道半背弦差。用这个差从黄赤道积度（即黄道半弧背）中减去，剩余的是黄道半弧背。将黄赤道半弧弦自乘作为股幕，将黄赤道小股自乘作为句幕，两者相加，用开平方的方法得到赤道小弦。将黄赤道半弧弦乘以周天半径（也是赤道大弦），作为被除数，以赤道小弦作为除数，相除得到赤道半弧弦。将黄赤道小股（也是赤道横小勾）乘以赤道大弦（即半径），作为被除数，以赤道小弦作为除数，相除得到赤道横大勾，从半径中减去，剩余的是赤道横弧矢。将横弧矢自乘作为被除数，以全径作为除数，相除得到赤道半背弦差。用这个差加上赤道半弧，得到赤道积度。