〔11〕如黄道半弧背一度，求赤道积度。术曰：“置半径六十零度八十七分五十秒，（即黄赤道大弦。）内减黄道矢八十二秒余六十零度八六六八，为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以黄赤道大股五十六度零二六八乘之，得三千四百一十零度一七二零三零二四为实，以黄赤道大弦六十零度八七五为法，实如法而一，得五十六度零一分九十二秒，为黄赤道小股。（又为赤道小句。）置矢度八十二秒自之，得六十七微，以全径一百二十一度七五为法，除之得五十五纤，为黄道平半背弦差。置黄道半弧弦一度，内减黄道半背弦差，余为半弧弦，因因差在微以下不减，即用一度为半弧弦。置黄道半弧弦一度自之，得一度为股幕。黄赤道小股五十六度零一九二自之，得三千一百三十八度一五零七六八六四为句幕。二幕并得三千一百三十九度一五零七六八六四为弦实，平方开之，得五十六度零二八一，为赤道小弦。置黄道半弧弦一度，以半径（即赤道大弦）乘之，得六十零度八七五为实，以赤道小股五十六度零二八一为法除之，得一度零八分六十五秒，为赤道半弧弦。置黄赤道小股五十六度零一九二，（又为赤道小句。）以赤道大弦（半径）六十零度八七五乘之，得三千四百一十零度一六八八为实，以赤道小弦为法除之，得六十零度八十六分五十三秒，为赤道横大句。置半径六十零度八十七分五十秒，内减赤道大句六十零度八十六分五十三秒，余九十七秒，为赤道横弧矢。置赤道横弧矢九十七秒自之，得九十四微零九，以全径为法除之，得七十纤，为赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，为赤道积度，今差在微已下不加，即用半弧弦为积度。
比如用黄道半弧背一度来求赤道积度。方法：取半径六十度八十七分五十秒（即黄赤道大弦），减去黄道矢八十二秒，剩余六十度八六六八，作为黄赤道小弦。将黄赤道小弦乘以黄赤道大股五十六度零二六八，得到三千四百一十度一七二零三零二四作为被除数，以黄赤道大弦六十度八七五作为除数，相除得到五十六度零一分九十二秒，作为黄赤道小股（也是赤道小勾）。将矢度八十二秒自乘，得到六十七微，以全径一百二十一度七五作为除数，相除得到五十五纤，作为黄道平半背弦差。将黄道半弧弦一度减去黄道半背弦差，剩余作为半弧弦，但因为差在微以下，不减，所以直接用一度作为半弧弦。将黄道半弧弦一度自乘，得到一度作为股幕。将黄赤道小股五十六度零一九二自乘，得到三千一百三十八度一五零七六八六四作为句幕。两者相加得到三千一百三十九度一五零七六八六四作为弦实，开平方得到五十六度零二八一，作为赤道小弦。将黄道半弧弦一度乘以半径（即赤道大弦），得到六十度八七五作为被除数，以赤道小股五十六度零二八一作为除数，相除得到一度零八分六十五秒，作为赤道半弧弦。将黄赤道小股五十六度零一九二（也是赤道小勾）乘以赤道大弦（半径）六十度八七五，得到三千四百一十度一六八八作为被除数，以赤道小弦作为除数，相除得到六十度八十六分五十三秒，作为赤道横大勾。将半径六十度八十七分五十秒减去赤道大勾六十度八十六分五十三秒，剩余九十七秒，作为赤道横弧矢。将赤道横弧矢九十七秒自乘，得到九十四微零九，以全径作为除数，相除得到七十纤，作为赤道背弦差。将赤道半弧弦一度零八分六十五秒加上赤道背弦差，得到赤道积度，现在差在微以下，不加，所以直接用半弧弦作为积度。
〔12〕凡求得赤道积度一度零八分六十五秒。余度各如上法，求到各黄道度下赤道积度，两数相减，即得黄赤道差，乃至后之率。其分后，以赤道度求黄道，反此求之，其数并同。
凡是求得赤道积度为一度零八分六十五秒。其余度数都按照上面的方法，求出各黄道度下对应的赤道积度，两个数相减，就得到黄赤道差，这就是冬至后（或夏至后）的率。至于春分后，用赤道度数求黄道度数，反过来求，数值相同。
〔15〕按郭守敬创法五端，内一曰黄杀道差，此其根率也。旧法以一百一度相减相乘。《授时》立术，以句股、弧矢、方圆、斜直所容，求其数差，合于浑象之理，视古为密。顾《至元历经》所载甚略，又误以黄道矢度为积差，黄道矢差为率，今正之。
按：郭守敬创立了五种方法，其中一种叫“黄赤道差”，这就是它的根本比率。旧法用一百零一度相减相乘。《授时历》建立的方法，利用勾股、弧矢、方圆、斜直所包含的关系，求出数值差，符合浑天仪的原理，比古代更精密。但《至元历经》记载得很简略，又错误地将黄道矢度当作积差，将黄道矢差当作率，现在纠正过来。
〔16〕凡浑圆中剖，则成平圆。任割平圆之一分，成弧矢形，皆有弧背，有弧弦，有矢。剖弧矢形而半之，则有半弧背，有半弧弦，有矢。因弦生矢句股形，以半弧弦为句，矢减半径之余为股，半径为弦。句股内成小句股，则有小句、小股、小弦、而大小可互求，平侧可互用，浑圆之理，斯为密近。
凡是球体从中间剖开，就得到平面圆。任意切割平面圆的一部分，形成弧矢形，都有弧背、弧弦、矢。将弧矢形从中间剖成两半，就有半弧背、半弧弦、矢。由弦和矢产生勾股形，以半弧弦为勾，矢减去半径的剩余为股，半径为弦。在勾股形内部又形成小勾股形，于是有小勾、小股、小弦，而且大小可以互相推算，平面和侧面可以互相运用，球体的原理，这样就很接近了。
〔17〕平者为赤道，斜者为黄道。因二至黄赤之距，生大句股。因各度黄赤之距，生小句股。
平面的是赤道，倾斜的是黄道。根据冬至和夏至时黄道与赤道的距离，产生大勾股形。根据各度数黄道与赤道的距离，产生小勾股形。
〔18〕外大圆为赤道。从北极平视，则黄道在赤道内，有赤道各度，即各有其半弧弦，以生大句股。又各有其相当之黄道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。
外面的大圆是赤道。从北极平视，黄道在赤道内部，赤道有各个度数，每个度数都有对应的半弧弦，从而产生大勾股形。同时又各有对应的黄道半弧弦，从而产生小勾股形。这两种都可以互相推算。
〔19〕按旧史无图，然表亦图之属也。今句股割圆弧矢之法，实为历家测算之本。非图不明，因存其要者数端。
按：旧史中没有图，但表格也属于图的一种。现在勾股、割圆、弧矢的方法，实在是历法家测算的根本。没有图就不明白，因此保存了其中几个要点。
〔20〕推黄道各度，距赤道内外及去极远近术。置半径内减去赤道小弦，余为赤道二弦差。（又为黄赤道小弧矢，又为内外矢，又为股弦差。）置半径内外减去黄道矢度，余为黄赤道小弦，以二至黄赤道内外半弧弦乘之为实，以黄赤道大弦为法，（即半径。）除之为黄赤道小弧弦。（即黄赤道内外半弧弦，又为黄赤道小句。）置黄赤道小弧矢自之，（即赤道二弦差。）以全径除之，为半背弦差。以差加黄赤道小弧弦为黄赤道小弧半背，即黄赤道内外度。置黄赤道内外度，视在盈初缩末限以加，在缩初盈天限以减，皆加减象限度，即各得太阳去北极度分。
推算黄道各度数，距离赤道内外以及距离北极的远近的方法。取半径减去赤道小弦，剩余的是赤道二弦差（也叫黄赤道小弧矢、内外矢、股弦差）。取半径减去黄道矢度，剩余的是黄赤道小弦，用冬至夏至黄赤道内外半弧弦乘以上述剩余，作为被除数，以黄赤道大弦（即半径）作为除数，相除得到黄赤道小弧弦（即黄赤道内外半弧弦，也叫黄赤道小勾）。将黄赤道小弧矢自乘（即赤道二弦差），除以全径，得到半背弦差。用这个差加上黄赤道小弧弦，得到黄赤道小弧半背，就是黄赤道内外度。将黄赤道内外度，看在盈初缩末限就加，在缩初盈天限就减，都加减象限度，就得到各时刻太阳距离北极的度数。
〔21〕如冬至后四十四度，求太阳去赤道内外及去极度。术曰：“置半径六十零度八十七分半，内减黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，为黄赤道小弧矢。（即内外矢。）置半径六十零度八七五，内减黄道四十四度，矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四三十零分六十八秒，为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乘之，得一千零五十零度五十一分四二三八为实，以黄赤道大弦六十零度八七五为法除之，得一十七度二十五分十九秒为黄赤道小弧弦。（即内外半弧弦。）置黄赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之为实，以全径一百二十一度七十五分除之，得五分二十一秒为背弦差，以差加黄赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十零分八十九秒，为二至前后四十四度，太阳去赤道内外度。置象限九十一度三十一分四十三秒七五，以内外度一十七度三零八九加之，得一百零八度六十二分三十二秒七五，为冬至后四十四度太阳去北极度。
比如冬至后四十四度，求太阳距离赤道内外以及距离北极的度数。方法：取半径六十度八十七分半，减去黄道四十四度下对应的赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，剩余二度五十一分八十一秒，作为黄赤道小弧矢（即内外矢）。取半径六十度八七五，减去黄道四十四度对应的矢一十六度五十六分八十二秒，剩余四十四度三十零八分六十八秒，作为黄赤道小弦。将黄赤道小弦乘以冬至夏至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分，得到一千零五十度五十一分四二三八作为被除数，以黄赤道大弦六十度八七五作为除数，相除得到一十七度二十五分十九秒作为黄赤道小弧弦（即内外半弧弦）。将黄赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自乘作为被除数，以全径一百二十一度七十五分作为除数，相除得到五分二十一秒作为背弦差，用这个差加上黄赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得到一十七度三十分八十九秒，作为冬至夏至前后四十四度时太阳距离赤道的内外度。取象限九十一度三十一分四十三秒七五，加上内外度一十七度三零八九，得到一百零八度六十二分三十二秒七五，作为冬至后四十四度太阳距离北极的度数。
〔23〕推白赤道正交，距黄赤道正交极数。术曰：“置实测白道出入黄道内外六度为半径弧弦，又为大圆弧矢，又为股弦差。置半径六十零度八七五自之，得三千七百零五度七六五六二五，以矢六度而一，得六百一十七度六十三分为股弦和，加矢六度，共六百二十三度六十三分为大圆径。依法求得容阔五度七十分，又为小句。又以二至出入半弧弦二十三度七十一分为大句。以大句为法，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分（就整）为度差。以度差乘小句，得小股一十三度四十七分八十二秒，为容半长。置半径六十零度八七五为大弦，以乘小句五度七十分为实，以大句二十三度七十一分为法除之，得一十四度六十三分为小弦，又为白赤道正交，距黄赤道正交半弧弦。 依法求行半弧背一十四度六十六分，为白赤道正交距黄赤道正交极数。
推算白道与赤道正交点，距离黄道与赤道正交点的最大数值。方法：取实测白道出入黄道内外六度，作为半径弧弦，也是大圆弧矢，也是股弦差。将半径六十度八七五自乘，得到三千七百零五度七六五六二五，除以矢六度，得到六百一十七度六十三分作为股弦和，加上矢六度，共六百二十三度六十三分作为大圆直径。按照方法求得容阔五度七十分，作为小勾。又以冬至夏至出入半弧弦二十三度七十一分作为大勾。以大勾作为除数，除大股五十六度零六分五十秒，得到二度三十七分（取整）作为度差。用度差乘以小勾，得到小股一十三度四十七分八十二秒，作为容半长。取半径六十度八七五作为大弦，乘以小勾五度七十分作为被除数，以大勾二十三度七十一分作为除数，相除得到一十四度六十三分作为小弦，也就是白道与赤道正交点距离黄道与赤道正交点的半弧弦。按照方法求得半弧背一十四度六十六分，作为白道与赤道正交点距离黄道与赤道正交点的最大数值。