〔2〕推步新法所用者，曰平三角形，曰弧三角形，曰橢圆形。今撮其大旨，证立法之原，验用数之实，都为一十六术，著于篇。
推步新法所使用的，有平三角形、弧三角形、椭圆形三种。现在概括其主要内容，证明建立方法的原理，验证所用数字的可靠性，总共归纳为十六种方法，写在篇章中。
〔3〕平三角形者，三直线相遇而成。其线为边，两线所夹空处为角。有正角，当全圆四分之一，如甲乙丙形之甲角。有锐角，不足四分之一，如乙、丙两角。有钝角，过四分之一，如丁戊己形之戊角。（图略）
平三角形，是由三条直线相交而成。这些直线叫做边，两条直线之间所夹的空处叫做角。有直角，相当于整个圆的四分之一，比如在甲乙丙三角形中，甲角就是直角。有锐角，小于四分之一圆，比如乙角和丙角。有钝角，大于四分之一圆，比如在丁戊己三角形中，戊角就是钝角。（图略）
〔4〕角之度无论多寡，皆有其相当之八线。曰正弦、正矢、正割、正切，所有度与九十度相减余度之四线也，如甲乙为本度，则丙乙为余度。正弦乙戊，正矢甲戊，正割庚丁，正切庚甲，余弦乙己，余矢丙己，余割辛丁，余切辛丙。若壬癸为本度，则丑癸为余度，正弦癸辰，正矢壬辰，余弦癸卯，余矢丑卯，余割子寅，余切丑寅。以壬癸过九十度无正割、正切，借癸午之子未为正割，午未为正切。若正九十度丑壬为本度，则无余度，丑子半径为正弦，壬子半径为正矢，亦无正割、正切，并无余弦、余矢、余割、余切。
角的度数不论多少，都有对应的八种线：正弦、正矢、正割、正切，以及它们的余函数（余弦、余矢、余割、余切）。例如，给定一个角，就可以找到对应的这些线。具体关系通过图形说明。
〔5〕古定全圆周为三百六十度，四分之一称一象限，为九十度。每度六十分，每分六十秒，每秒六十微。圆半径为十万，后改千万。逐度逐分求其八线，备列于表。推算三角，在九十度内，欲用某度某线，就表取之，算得某线。欲知某度，就表对之。过九十度者，欲用正弦、正割、正切及四余，以其度与半周相减余，就表取之。欲用正矢，取余弦加半径为之。既得某线，欲知某度，就表对得其度与半周相减余命之。
古代规定整个圆周为360度，四分之一为90度，称为一象限。每度60分，每分60秒，每秒60微。圆半径最初定为十万，后来改为千万。逐度逐分求出八线，列入表中。推算三角形时，在90度以内，想用某度某线，就从表中查找。超过90度时，用该度与180度相减后的余数来查表。正矢则用余弦加半径得到。
〔8〕一曰对边求对角，以所知边为一率，对角正弦为二率，所知又一边为三率，二三相乘，一率除之，求得四率，为所不知之对角正弦。如图甲乙为所知边，丁角为所知对角，乙丁为所知又一边，甲角为所不知对角也。此其理系两次比例省为一次。如图乙丁为半径之比，乙丙为丁角正弦之比。法当先以半径为一率，丁角正弦为二率，乙丁为三率，求得四率中垂线乙丙。既得乙丙，甲乙为半径之比，乙丙又为甲角正弦之比。乃以甲乙为一率，乙丙为二率，半径为三率，求得四率，自为甲角正弦。然后合而算之，以先之一率半径与后之一率甲乙相乘为共一率，先之二率丁角正弦与后之二率乙丙相乘为共二率，先之三率乙丁与后之三率半径相乘为共三率，求得四率，自为先之四率乙丙与后之四率甲角正弦相乘数，仍当以乙丙除之，乃得甲角正弦。后既当除，不如先之勿乘。共二率内之乙丙与三率相乘者也，乘除相报，乙丙宜省。又共三率内之半径与二率相乘者也，共一率内之半径又主除之，乘除相报，半径又宜省。故径以甲乙为一率，丁角正弦为二率，乙丁为三率，求得四率，为甲角正弦。
第一种方法，对边求对角。用已知边作为第一比例项，已知对角的正弦作为第二比例项，另一已知边作为第三比例项，将第二和第三项相乘，再除以第一项，得到第四比例项，就是所求对角的正弦。例如，在三角形中，已知边AB、角D和边BD，求角A。这个原理是两次比例合并为一次。先通过半径和角D的正弦得到垂线，再通过AB和垂线得到角A的正弦。由于乘除相消，可以直接简化，用AB、角D正弦和BD直接得到角A正弦。
〔9〕二曰对角求对边，以所知角正弦为一率，对边为二率，所知又一角正弦为三率，求得四率，为所不知对边。此其理具对边求对角，反观自明。
第二种方法，对角求对边。用已知角的正弦作为第一比例项，已知对边作为第二比例项，另一已知角的正弦作为第三比例项，求得第四比例项就是所求对边。这个原理与对边求对角相同，反过来看自然明白。
〔10〕三曰两边夹一角求不知之二角，以所知角旁两边相加为一率，相减余为二率，所知角与半周相减，余为外角，半之，取其正切为三率，求得四率，为半较角正切。对表得度，与半外角相加，为对所知角旁略大边之角；相减，余为对所知角旁略小边之角。此其理一在平三角形。三角相并，必共成半周。如图甲乙丙形，中垂线甲丁，分为两正角形。正角为长方之半，长方四角皆正九十度，正角形两锐角斜剖长方，此角过九十度之半几何，彼角不足九十度之半亦几何，一线径过，其势然也。故甲右边分角必与乙角合为九十度，甲左边分角必与丙角合为九十度。论正角形各加丁角，皆成半周，合为锐角形。除去丁角，三角合亦自为半周。故既知一角之外，其余二角虽不知各得几何度分，必知其共得此角减半周之余也。一在三角同式形比例。如图丙庚戊形，知丙庚、丙戊两边及丙角。展丙庚为丙甲，连丙戊为甲戊，两边相加。截丙戊于丙丁，为戊丁，两边相减余。作庚丁虚线，丙庚、丙丁同长，庚丁向圆内二角必同度，是皆为丙角之半外角，与甲辛、辛庚之度等。而庚向圆外之角，即本形庚角大于戊角之半，是为半外角。以庚丁为半径之比，则甲庚即为丁半外角正切之比。半径与正切恒为正角，甲庚与庚丁圆内作两通弦，亦无不成正角故也。又作丁己线，与甲庚平行，庚丁仍为半径之比，丁己又为庚向圆外半较角正切之比。而戊甲庚大形与戊丁己小形，戊甲、戊丁既在一线，甲庚、丁己又系平行，自然同式。故甲戊两边相加为一率，戊丁两边相减余为二率，甲庚半外角正切为三率，求得四率，自当丁己半较角正切也。
第三种方法，两边夹一角，求另外两个角。用已知角两边之和作为第一比例项，两边之差作为第二比例项，已知角的外角的一半的正切作为第三比例项，求得第四比例项就是半较角的正切。查表得到度数，然后与半外角相加得到对较大边的角，相减得到对较小边的角。这个原理基于平面三角形内角和为180度，以及相似三角形比例。具体通过作垂线和辅助线推导。
〔11〕四曰两角夹一边求不知之一角，以所知两角相并，与半周相减，余即得。此其理具两边夹一角。
第四种方法，两角夹一边，求第三角。将已知两角相加，与180度相减，余数就是第三角。这个原理在两边夹一角中已说明。
〔12〕五曰三边求角，以大边为底，中、小二边相并相减，两数相乘，大边除之，得数与大边相加折半为分底大边，相减余折半为分底小边。乃以中边为一率，分底大边为二率，半径为三率，求得四率，为对小边角余弦。或以小边为一率，分底小边为二率，半径为三率，求得四率，为对中边角余弦。此其理在勾股弦幂相求及两方幂相较。如图甲丙中边、甲乙小边皆为弦，乙丙大边由丁分之，丁丙、丁乙皆为勾，中垂线甲丁为股。勾股幂相并恒为弦幂，今甲丁股既两形所同，则甲丙大弦幂多于甲乙小弦幂，即同丙丁大勾幂多于乙丁小勾幂。又两方幂相较，恒如两方根和较相乘之数。如图戊寅壬庚为大方幂，减去己卯辛庚小方幂，余戊己卯辛壬寅曲矩形。移卯癸壬辛为癸寅丑子，成一直方形，其长戊丑，自为大方根戊寅、小方根卯辛之和；其阔戊己，自为大方根戊庚、小方根己庚之较。故甲乙丙形，甲丙、甲乙相加为和，相减为较。两数相乘，即如丙丁、丁乙和较相乘之数。丙乙除之，自得其较。丙午相加相减各折半，自得丙丁及乙丁，既得丙丁、乙丁，各以丙甲、乙甲为半径之比，丙丁、乙丁自为余弦之比矣。
第五种方法，三边求角。以最大边为底，将中边和小边相加、相减，两数相乘除以大边，得到的数与大边相加除以2得到分底大边，相减除以2得到分底小边。然后以中边为第一比例项，分底大边为第二比例项，半径为第三比例项，求得第四比例项就是小边所对角的余弦。或者以小边为第一比例项，分底小边为第二比例项，半径为第三比例项，求得第四比例项就是中边所对角的余弦。原理基于勾股定理和平方差。
〔13〕此五术者，有四不待算，一不可算。对边求对角，令所知两边相等，则所求角与所知角必相等。对角求对边，令所知两角相等，则所求边与所知边必相等。两边夹一角，令所知两边相等，则所求二角必正得所知外角之半。三边求角，令二边相等，即分不等者之半为底边；三边相等，即平分半周三角皆六十度，皆不待算也。若对边求对角，所知一边数少，对所知一角锐；又所知一边数多，求所对之角，不能知其为锐、为钝，是不可算也。诸题求边角未尽者，互按得之。
这五种方法中，有四种不需要计算，一种无法计算。例如，对边求对角时，如果已知两边相等，则所求角与已知角相等；对角求对边时，如果已知两角相等，则所求边与已知边相等；两边夹一角时，如果已知两边相等，则所求两角正好是已知角外角的一半；三边求角时，如果两边相等，则取不等边的一半为底边；如果三边相等，则三内角均为60度，都不需要计算。如果对边求对角时，已知一边较短，对已知角是锐角，而另一边较长，则无法判断所求角是锐角还是钝角，无法计算。其他题目中求边角未尽的，可以互相推算得到。
〔14〕弧三角形者，三圆周相遇而成，其边亦以度计。九十度为足，少于九十度为小，过九十度为大。其角锐、钝、正与平三角等。算术有七：
弧三角形，是由三个圆弧相交而成，它的边也用度数计量。90度为足（即直角弧），小于90度为小弧，大于90度为大弧。它的角有锐角、钝角、直角，与平面三角形相同。计算方法有七种：
〔15〕一曰对边求对角，以所知边正弦为一率，对角正弦为二率，所知又一边正弦为三率，求得四率，为所求对角正弦。此其理亦系两次比例省为一次。如图甲乙丙形，知甲乙、丙乙二边及丙角，求甲角。作乙辛垂弧，半径与丙角正弦之比，同于乙丙正弦与乙辛正弦之比。法当以半径为一率，丙角正弦为二率，乙丙正弦为三率，求得四率，为乙辛正弦。既得乙辛正弦，甲乙正弦与乙辛正弦之比，同于半径与甲角正弦之比。乃以甲乙正弦为一率，乙辛正弦为二率，半径为三率，求得四率，为甲角正弦。然乘除相报，可省省之。
第一种方法，对边求对角。用已知边的正弦作为第一比例项，已知对角的正弦作为第二比例项，另一已知边的正弦作为第三比例项，求得第四比例项就是所求对角的正弦。原理是两次比例合并为一次。例如，在球面三角形中，已知两边和夹角，通过作垂弧，可以简化计算。