〔55〕京师北极出地三十九度五十五分，则赤道应高五十度五分，春分日太阳正当赤道上，其午正高度与赤道高度等，过此则太阳高度必渐多，今置十四日所测高度，加以地半经差二分，较赤道已多五分。盖原推春分在卯正二刻五分弱，是时每日纬行二十四分弱，时差二十一刻五分，则纬行应加五分强。至十五日，并地半径较赤道高度已多至三十分，况十六日乎？是春分当在十四，不当在十六也。秋风亦然。又出《节气图》曰：
京城的北极星出地高度是三十九度五十五分，那么赤道的高度应该是五十度五分。春分那天，太阳正好位于赤道上，它的正午高度与赤道高度相等，过了春分，太阳的高度一定会逐渐增加。现在，我们把十四日观测到的高度，加上地半径差两分，发现比赤道高度已经多了五分。原来推算春分发生在卯正二刻五分弱，这时太阳每天沿纬度方向移动二十四分弱，时间差是二十一刻五分，所以纬度移动应该加上五分强。到了十五日，再加上地半径影响，已经比赤道高度多了三十分，更何况十六日呢？因此，春分应当发生在十四日，而不应该在十六日。秋分也是同样的道理。另外，引用《节气图》说：
〔56〕内规分三百六十五度四分度之一者，日度也。外规公三百六十度者，天度也。自冬至起算，越九十一日三十一刻六分，而始历春分者，日为之限敢，乃在天则已逾二度余矣。又越二百七十三日九十三刻，一十九分，而即交秋分者，亦日为之限也，乃在天不及二度余。岂非旧法春分每后天二日，秋分先天二日耶？
内规划分为三百六十五又四分之一度，这是太阳运行的度数。外规划分为三百六十度，这是天球运行的度数。从冬至开始计算，经过九十一日三十一刻六分，才到达春分点，这是太阳运行所规定的界限，但按照天球的度数，太阳已经超过了两度多。又经过二百七十三日九十三刻十九分，就到达秋分点，这也是太阳运行所规定的界限，但按照天球的度数，太阳还差两度多。这难道不是旧历法中春分总是比实际天球位置落后两天，秋分总是比实际天球位置超前两天吗？
〔57〕十年1637正月辛丑朔，日食，天经等预推京师师见食一分一十秒，应天及各省分秒各殊，惟云南、太原则不见食。其初亏、食甚、复圆时刻亦各异。《大统》推食一分六十三秒，《回回》推食三分七十秒，东局所推止游气侵光三十余秒。而食时推验，惟天经为密。时将废《大统》，用新法，于是管理另局历务代州知州郭正中言：“中历必不可尽废，西历必不可专行。四历各有短长，当参合诸家，兼收西法。”十一年1638正月，乃诏仍行《大统历》，如交食经纬，晦朔弦望，因年远有差者，旁求参考新法与回回科并存。是年，进天经光禄寺卿，仍管历务，十四年1641十二月，天经言：“《大统》置闰，但论月无中气，新法尤视合朔后先。今所进十五年新历，其十月、十二月中气，适交次月合朔时刻之前，所以月内虽无中气，而实非闰月。盖气在朔前，则此气尚属前月之晦也。至十六年第二月止有惊蛰一节，而春分中气，交第三月合朔之后，则第二月为闰正月，第三月为第二月无疑。”时帝已深知西法之密。迨十六年三月乙丑朔日食，测又独验。八月，诏西法果密，即改为《大统历法》，通行天下。未几国变，竟未施行。本朝用为宪历。
崇祯十年正月初一（辛丑日），发生日食。李天经等人预先推算，京师可见的食分为一分十秒，应天府和各省的食分与时刻各不相同，只有云南和太原看不到这次日食。日食的初亏、食甚、复圆时刻也各有不同。《大统历》推算食分为一分六十三秒，《回回历》推算为三分七十秒，东局推算的结果只有大气折射影响三十多秒（即几乎看不出日食）。而实际观测日食时，只有李天经的推算最为精密。当时皇帝打算废除《大统历》改用新法，于是管理另外历局的代州知州郭正中进言：“中国历法绝不能完全废除，西洋历法也不能单独推行。这四家历法各有优缺点，应当参考综合各家，同时吸收西洋方法。”崇祯十一年正月，下诏仍然实行《大统历》，对于交食、经纬度、晦朔弦望等，因年代久远有误差的项目，再参考新法，与回回科并存。同年，提升李天经为光禄寺卿，仍然掌管历法事务。崇祯十四年十二月，李天经上奏说：“《大统历》设置闰月，只看一个月没有中气，而新法更看重合朔的先后。现在进呈的十五年新历，其十月和十二月中气正好落在下一个月合朔时刻之前，所以这些月份内虽然没有中气，但实际上不是闰月。因为中气在朔日之前，那么这个中气还属于前一个月的晦日。至于十六年的第二个月，只有惊蛰一个节气，而春分中气落在第三个月的合朔之后，那么第二个月应该是闰正月，第三个月就是第二个月，这就没有疑问了。”当时皇帝已经深刻了解西洋历法的精密。等到崇祯十六年三月初一（乙丑日）日食，观测后又独有李天经的预测得到验证。同年八月，下诏说西洋历法果然精密，就改为《大统历法》，通行全国。不久明朝灭亡，最终没有施行。清朝采用它作为时宪历。
〔58〕按明制，历官皆世业，成、弘间尚能建修改之议，万历以后则皆专己守残而已。其非历官而知历者，郑世子而外，唐顺之、周述学、陈壤、袁黄、雷宗皆有著述。唐顺之未有成书，其议论散见周述学之《历宗通议》《历宗中经》。袁黄著《历法新书》，其天地人三元，则本之陈壤。而雷宗亦著《合璧连珠历法》皆会通回回历以入《授时》，虽不能如郑世子之精微，其于中西历理，亦有所发明。邢云路《古今律历考》，或言本出魏文魁手，文魁学本肤虑浅，无怪其所疏《授时》，皆不得其旨也。
按照明朝的制度，掌管历法的官员都是世代相传的职业，成化、弘治年间还能提出修改历法的建议，万历以后就都固守自己的见解、抱残守缺罢了。那些不是历官却懂得历法的人，除了郑世子以外，还有唐顺之、周述学、陈壤、袁黄、雷宗，他们都有著作。唐顺之没有写成书，他的议论分散在周述学的《历宗通议》和《历宗中经》里。袁黄著有《历法新书》，其中的“天地人三元”是出自陈壤的。雷宗也著有《合璧连珠历法》，都是把回回历融会贯通到《授时历》里，虽然不如郑世子那样精微，但对于中西历理，也有所阐明。邢云路的《古今律历考》，有人说是出自魏文魁之手，魏文魁的学问本来肤浅，难怪他注解的《授时历》都不得要领。
〔59〕西洋人之来中土者，皆自称瓯罗巴人。其历法与回回同，而加精密。尝考前代，远国之人言历法者多在西域，而东南北无闻。（唐之《九执律》，元之《万年历》，及洪武间所译《回回历》，皆西域也。）盖尧命羲、和仲叔分宅四方，羲仲、羲叔、和叔则以隅夷、南交、朔方为限，独和仲但曰“宅西”，而不限以地，岂非当时声教之西被者远哉。至于周末，畴人子弟分散。西域、天方诸国，接壤西陲，非若东南有大海之阻，又无极北严寒之畏，则抱书器而西征，势固便也。瓯罗巴在回回西，其风俗相类，而好奇喜新竞胜之习过之。故则历法与回回同源，而世世增修，遂非回回所及，亦其好胜之俗为之也。羲、和既失其守，古籍之可见者，仅有《周髀》而西人浑盖通宪之器，寒热五带之说；地圆之理，正方之法，皆不能出周髀范围，亦可知其源流之所自矣。夫旁搜博采以续千百年之坠绪，亦礼秀求野之意也，故备论也。
来到中国的西洋人，都自称是瓯罗巴人。他们的历法和回回历法相同，但更加精密。我曾经考察前代，发现远国之人谈论历法的多在西方域外，而东南北都没有听说过。（唐代的《九执历》，元代的《万年历》，以及洪武年间翻译的《回回历》，都来自西域。）当初尧命令羲氏、和氏兄弟分别居住在四方，羲仲、羲叔、和叔分别被指定在隅夷、南交、朔方这些地方，只有和仲只说“居住在西边”，而不限制具体地点，这难道不是说明当时华夏的声威教化已经广泛传播到西方去了吗？到了周朝末年，世代掌管天文历法的官员子弟们四散流亡。西域、天方各国，和中国的西部边疆接壤，不像东南方有大海阻挡，又没有北方严寒的威胁，所以他们带着书籍仪器向西迁移，形势上自然是很便利的。瓯罗巴在回回的西边，风俗和他们相似，但喜欢新奇、争强好胜的习性更胜一筹。所以他们的历法和回回历法同源，但世代不断增补修订，于是回回历法就赶不上了，这也是他们好胜的风俗造成的。自从羲氏、和氏失去职守以后，古代流传下来的典籍中还能看到的，只有《周髀算经》了。而西方人制造的浑盖通宪仪器、寒热五带的理论、地球圆的道理、测算正方的方法，都没有超出《周髀算经》的范围，也可以知道这些知识来源是何处的了。广泛搜罗采集来延续千百年失传的绝学，也就是礼失求诸野的意思，所以详细论述这些。