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旧唐书 · 卷三十四·志第十四

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〔201〕求差行初末日行度及分 置日定率减一,以差分乘之。二而一,为差率,以加减平行分。益疾者,以差率减平为初日,加平为末日。益迟者,以差率加平为初日,减平为末日也。加减讫,即是初末日所行度及分。其差不全而与日相合者,先置日定率减一,以所差分乘之,为实。倍所差日为法。实如法而一,为行分。不尽者,因为小分,然为差率。

要计算等差数列中第一天和最后一天所走的度数和分数。先把运行的天数减去一,乘以相邻两天之间的差数,再除以二,得到差率。然后用差率来调整平均每天的行程数。如果速度是越来越快的,就用平均行程减去差率作为第一天的行程,加上差率作为最后一天的行程。如果速度是越来越慢的,就用平均行程加上差率作为第一天的行程,减去差率作为最后一天的行程。加减完成之后,就得到第一天和最后一天所走的度数和分数。如果天数减一和公差相乘不能整除二,但天数和差数是对应的情况,先取天数减一,乘以所对应的差数,作为被除数。把天数的两倍作为除数。被除数除以除数,整数部分就是行分。如果除不尽,剩余的部分就作为小分,然后合并成为差率。

〔202〕求差行次日行度及分 置初日行分,益迟者,以每日差减之;益疾者,以每日差加之,即为次日行度及分也。其每日差、初日行皆有小分,母既不同,当令同之。然用加减,转求次日,准此各得所求也。

要计算差行(非匀速运动)中第二天的运行度数和分数:先设好第一天的运行度数。如果运动是逐渐变慢的,就用每天的差值去减它;如果运动是逐渐变快的,就用每天的差值去加它,这样就算出了第二天的运行度数和分数。如果每天的差值和第一天的度数都带有分数部分,而它们的分母不同,就得先通分。然后通过加减运算,再求出第二天的度数。按照这个办法,就能分别得到各天需要的结果。

〔203〕径求差行余日行度及分 置所求日减一,以每日差乘之,以加减初日行分,益迟减之,益疾加之。满辰法为度,不满为行分,即是所求日行度及分也。

直接求取运动差数下剩余日数的运行度数和分数:把所求的日数减去一,乘以每天的差数,然后用这个结果来加减初日的行分。如果是“益迟”(即运动变慢)就减去,如果是“益疾”(即运动变快)就加上。结果满一个辰法就是一度,不满的就是行分,这样就算出了所求那天的运行度数和分数。

〔204〕求差行,先定日数,径求积度及分 置所求日减一,次每日差乘之,二而一,所得,以加减初日行分。益迟减之,益疾加之。以所求日乘之,如辰法而一,为积度。不尽者,为行分。即是从初日至所求日积度及分也。

求差行的方法:先确定日数,直接求积度和行分。具体计算是:把所求的日数减去一,乘以每天的差值,再除以二,用这个结果来加或减初日的行分(如果速度减慢就减,如果速度加快就加)。然后用所求的日数乘以上一步调整后的行分值,再除以辰法,得到的整数部分就是积度,除不尽的余数就是行分。这就是从初日到所求日的累积度数和行分。

〔205〕求差行,先定度数,径求日数 置所求行度,以辰法乘之,有分者从之。八之,如每日差而一,为积。倍初日行分,以每日差加减之。益迟者加之,益疾者减之。如每日差而一,为率。今自乘,以积加减之,益迟者以积减之,益疾者以积加之。开方除之。所得,以率加减之。益迟者以率加之,益疾者以率减之。乃半之,即所求日数也。其开方除者,置所开之数为实,借一算于实之下,名曰下法。步之,超一位,置商于上方,副商于下法之上,名曰方法。命上商以除实,毕,倍方法一折,下法再折,乃置后商于下法之上,名曰隅法。副隅并方,命后商以除实,毕,隅从方法折下就除,如前开之。讫除,依上术求之即得也。

求差行(即计算天体不均匀运动所需的时间),首先要确定运行的度数,然后直接求天数:将所求的行度乘以辰法,有小数部分则一并计算。再乘以8,除以每日差(每天的变化量),得到积。把初日行分(第一天的运行分度)加倍,再加减每日差(如果慢就加,快就减),然后除以每日差,得到率。将率自乘,再加减积(慢则减积,快则加积),然后开平方。所得结果再加减率(慢则加率,快则减率),最后除以二,就是所求的天数。关于开平方的方法:将被开方数称为实,在实之下放一根算筹作为下法。移动数位,跳一位,在上方放置初商,在下法之上放置副商,称为方法。用初商乘下法去除实,完成后,将方法加倍并向右折一位,下法再折一位,然后在新的下法之上放置后商,称为隅法。将隅法加在方法上,用后商乘下法去除实,完成后,隅法退位并入方法,像之前一样继续开方。除法完毕后,用上面的算法就能求得结果。

〔206〕求星行黄道南北 各视其星变行入阴阳爻而定之。其前变入阳爻为黄道北,入阴爻为黄道南;后变入阳爻为黄道南,入阴爻为黄道北。其金水二星,以爻变为前变,各计其变行,起初日入爻之算,尽老象上爻末算之数,不满变行度常率者,因置其数,以变行日定率乘之,如变行度常率而一,为日。其入变日数,与此日数以下者,星在黄道南北,依本所入阴阳爻为定。过此日数之外者,黄道南北则返之。

要确定行星在黄道以南还是以北,需要根据这颗星进入变行状态时落入阴爻或阳爻的情况来判断。如果变行开始时进入阳爻,行星就在黄道北边;进入阴爻,就在黄道南边。如果变行结束后才进入阳爻,行星就在黄道南边;进入阴爻,就在黄道北边。至于金星和水星,把最初进入爻位的那次变化作为前变,各自计算它们变行的过程。从开始进入爻位的那一天算起,直到老象上爻的最后一次计算。如果变行的天数没有达到变行度常率,就用这个天数乘以变行日定率,再除以变行度常率,得到实际日数。如果实际变行的天数小于或等于这个日数,那么行星在黄道南或北,就按照它最初进入的阴阳爻位置来确定。如果实际变行的天数超过了这个日数,那么行星在黄道南或北的位置就要反过来判断。