〔137〕后汉熹平三年174，《四分历》志立冬中景长一丈，立春中景长九尺六寸。寻冬至南极，日晷最长，二气去至日数既同，则中景应等，而前长后短，顿差四寸。此历景冬至后天之验也。二气中景日差九分半弱，进退均调，略无盈缩，以率计之，二气各退二日十二刻，则晷景之数，立冬更短，立春更长，并差二寸，二气中景俱长九尺八寸矣，即立冬、立春之正日也。以此推之，历置冬至后天亦二日十二刻也。熹平三年174，时历丁丑冬至，加时正在日中。以二日十二刻减之，定以乙亥冬至，加时在夜半后二十八刻。《宋志》大明五年461十月十日，景一丈七寸七分半；十一月二十五日，景一丈八寸一分太。二十六日，一丈七寸五分强。折取其中，则中天冬至应在十一月三日求其早晚。令后二日景相减，则一日差率也，倍之为法。前二日减，以百刻乘之，为实。以法除实，得冬至加时在夜半后三十一刻，在《元嘉历》后一日，天数之正也。量检弥年，则加减均同。异岁相课，则远近应率。观二家之说，略而未通。熹平乃要取其中，而失于至前、至后之余。大明则左右率，而失于为实、为法之数。若夫较景、定气，历家最为急务。观古较验，止以冬至前后数日之间，以定加时早晚。且景之差行，当二至前后，进退在微芒之间。又日有变行，盈缩稍异，若以为准，则加时相背。又晋、汉历术，多以前后所测晷要取其中，此亦差过半日。今比岁较验，在立冬、立春景移过寸，若较取加时，则宜以其相近者通计，半之为距至泛日；乃以其晷数相减，余者以法乘之，满其日晷差而一，为刻；乃以差刻（求冬至，视其前晷，多则为减，少则为加，求夏至返之。）加减距至泛日，为定日；仍加半日之刻，命从前距日辰，算外，即二至加时日辰及刻分。如此推求，则二至加时早晚可验矣。
东汉熹平三年，《四分历》记载立冬那天的正午影长是一丈，立春那天的正午影长是九尺六寸。我们知道冬至时太阳位于最南边，日影最长。立冬和立春这两个节气离冬至的天数相同，所以正午影长应该相等。可是实际测量结果却是立冬的影长更长，立春的影长更短，相差了四寸。这说明《四分历》规定的冬至比实际冬至要晚。立冬和立春的正午影长每天相差大约九分半，增减均匀，没有明显的盈缩。按照这个比率推算，如果冬至日向后推两天十二刻，那么立冬的影长会更短，立春的影长会更长，两者都相差二寸，这样两个节气的正午影长就都是九尺八寸了，这才是立冬、立春的正确日期。由此可见，历法规定的冬至也比实际晚了两天十二刻。熹平三年，当时历法规定的冬至是丁丑日，正午时刻。减去两天十二刻，实际冬至应该是乙亥日，时刻在半夜后二十八刻。 《宋书·律历志》记载，大明五年十月十日，影长一丈七寸七分半；十一月二十五日，影长一丈八寸一分太；十一月二十六日，影长一丈七寸五分强。取它们的中间值，可以确定真正的冬至应该是在十一月三日，需要查清其具体时刻。用后两天的影长相减，得到一天的差率，将这个差率加倍作为除数；用前两天的影长相减，乘以一百刻作为被除数。除数除被除数，得到冬至加时在半夜后三十一刻，比《元嘉历》规定的晚了一天，这是符合天数的正确结果。经过多年的检验，这种加减方法结果一致。不同年份相互比较，远近都符合规律。但看前述两种方法，都还有些粗略而未完全通晓。熹平的方法只是简单地取中间值，却忽略了冬至前后余数的影响；大明的方法采用了左右比率，但错误出现在实和法的取值上。关于比较影长、确定节气，这是历法家最紧要的事情。观察古代的校验，只靠冬至前后几天的测量来确定时刻的早晚。但影长的变化在二至前后非常微小。而且太阳运行有变化，盈缩稍有不同，如果以此作为标准，就会导致时刻与实际情况不符。再者，晋代和汉代的历法，大多用前后所测的影长取中间值，这样也会产生半天的误差。现在通过连续几年的校验，发现立冬、立春的影长移动超过一寸。如果要确定准确的时刻，应该用相近的日期通盘计算，取一半作为距至泛日；然后将影长相减，余数用方法换算成刻数；再用这个刻数（求冬至时，看前面的影长，如果影长较长则减，较短则加；求夏至时相反）加减距至泛日，得到定日；再加上半天刻数，从前面的日辰算起，就可以得到冬至或夏至发生的具体日辰和刻分。这样推算，冬至和夏至的具体时刻就可以验证了。
就是北宋皇祐年间，专门在岳台用日晷测量太阳影子长度的一套观测方法，用来推算节气和时间。
〔139〕按《大衍》载日及《崇天》定差之率，虽号通密，然未能尽上下交应之理，则晷度无由合契。今立新法，使上符盈缩之行，下参句股之数，所算尺寸与天测验，无有先后。其术曰：计二至后日数，乃减去二至约余，仍加半日之分，即所求日午中积数，而置之以求进退差分，（求进退差分者，置中积之数，如一象九十一日三十一分以下为在前；如一象以上，返减二至限一百八十二日六十二分，余为在后。置前后度于上，列二百于下，以上减下，余以下乘上，满四千一百三十五除之为分，不满，退除为小分。在冬至后即为进差，在夏至后即为退差。）仍列初、末二限，（求入初、末限者，置所求日午中积数，日在冬至后初限、夏至后末限之数四十五日六十二分以下，即为所求在初限；如在已上者，乃返减二至限，余即为所求入末限。其冬至后末限、夏至后初限，以一百三十七日为率。）用求午中晷数。（求午中晷数者，视所求。如入冬至后初限、夏至后末限者，以入限日减一千九百三十七半，余为泛差；仍以限日分乘其进退差，五因百约之，用减泛差，为定差；乃以入限日分自相乘，以乘定差，满一百万为尺，不满为寸、为分及小分，以减冬至常晷一丈二尺八寸五分，余为其日午中晷数。若所求入冬至后末限、夏至后初限者，乃三约入限日分，以减四百八十五少，余为泛差；仍以进退差减极数，余者若在春分后、秋分前者，直以四约之，以加泛差，为定差；若在春分前、秋分后者，乃以去二分日数及分乘之，满六百而一，以减泛差，余为定差，用以入限日分自相乘，以乘定差，满一百万为尺，不满为寸、为分及小分，以加夏至常晷一尺五寸七分，即为其日午中晷数。若用周岁历，直以其日晷景损益差分乘其日午中之余，满法约之，乃损益其下晷数，即其日午中定晷。）如此推求，则上下通应之理，句股斜射之原，皆可视验，乃具岳台晷景周岁算数。
按照《大衍历》记载的太阳运行和《崇天历》的定差方法，虽然号称周密，但未能完全反映上下相互感应的关系，所以日影长度无法完全吻合。现在创立新的方法，让它上方符合太阳运行盈亏消长的规律，下方参照勾股定理的计算，算出的尺寸与天象实测一致，没有先后误差。具体方法是：先计算二至（冬至和夏至）以后的天数，减去二至日的尾数，再加上半天的分数，就得到所求那天正午的累计天数，用这个来求进退差。求进退差的方法是：将累计天数作为“中积”，如果小于一象（约91.31天），就算作“在前”；如果大于一象，就用二至限（约182.62天）减去它，余数为“在后”。将前后度数放在上面，下面列出200，用上面减下面，再把余数乘以上面，除以4135得到分数，除不尽退位得小分。在冬至后得到的是进差，在夏至后得到的是退差。然后还要列出初、末两个限。求进入初、末限的方法是：将所求日正午的累计天数，如果在冬至后初限、夏至后末限（约45.62天）以下，就算是在初限；如果大于这个数，就从二至限中减去它，余数就是进入末限。冬至后末限和夏至后初限都以137天为率。然后用这些数据求正午的日影长度。求正午日影长度要看具体情况。如果是进入冬至后初限或夏至后末限，就用入限天数减去1937.5，余数为泛差；然后用入限天数乘以进退差，再乘以5除以100，用这个值减泛差，得到定差；再用入限天数自乘，乘以定差，除以一百万得到尺数，不足的得到寸、分、小分，用冬至常影（一丈二尺八寸五分）减去这个结果，余数就是那天的正午日影长度。如果是进入冬至后末限或夏至后初限，就把入限天数除以3，减去485.25，余数为泛差；然后用进退差减极数，如果余数在春分后、秋分前，就除以4，加上泛差，得到定差；如果在春分前、秋分后，就用距离二分的天数乘以这个数，除以600，再减泛差，得到定差；然后用入限天数自乘，乘以定差，除以一百万得到尺数，不足得到寸、分、小分，加上夏至常影（一尺五寸七分），就是那天的正午日影长度。如果用周岁历，就直接用那天的日影损益差分乘以那天正午的余数，再按照方法约除，然后加减该日的日影数，就是那天正午的定影。这样推算，上下感应的原理、勾股斜射的根源，都可以观察验证，于是就有了岳台全年日影的计算数据。