宋史 · 卷七十二·志第二十五

〔46〕求冬至加时黄道日躔宿次：以冬至加时赤道日躔宿度，用减一百二十五，余以冬至加时赤道度及分乘之，十二除为分，分满百为度，用减冬至加时赤道日度及分，即冬至加时黄道日躔宿度及分。

计算冬至那个时刻太阳在黄道上的位置（宿度）：用冬至时刻太阳在赤道上的位置（宿度）减去125，然后拿冬至时刻的赤道度数和分数去乘这个余数，再除以12得到分数，分数满100就变成1度，最后用这个结果去减冬至时刻的赤道日度及分数，就得到了冬至时刻太阳在黄道上的位置（宿度）及分数。

• 冬至：二十四节气之一，标志着一年中白昼最短的一天，也是古代天文学重要的观测节点
• 加时：指特定的时刻，如冬至那一刻的时间点
• 黄道：太阳在天球上运行的轨道，古人认为太阳沿黄道运行
• 日躔：太阳运行的轨迹或位置，这里指太阳所在的宿度
• 赤道：天球赤道，与地球赤道相对应，是古代天文测量的参考圈
• 宿度：二十八宿的度数，古人把天区划分成二十八宿，每宿有固定的度数
• 黄道与赤道：中国古代天文学中的两个基本坐标系，黄道是太阳视运动轨迹，赤道是与地球赤道平行的天球大圆，两者之间存在夹角

〔47〕求二十四气初日加时黄道日躔宿次：置所求年冬至日躔黄道赤道差，以次年黄赤道差减之，余以所气数乘之，二十四而一，所得，以加其气下中积及约分，又以其气初日盈缩分盈加缩减之，用加冬时黄道日度，依宿次命之，即各得其气初日加时黄道日躔所在宿度及分。（若其年冬至加时赤道日躔度空，分、秒在岁差已下者，即如前宿全度，乃求黄赤道差，以次年冬至加时黄赤道差减之，余依本术，各得所求。此术以究算理之微，亟求其当，止以盈缩分加减中积，以天正冬至加时黄道日度加而命之。）

求二十四节气第一天加时黄道太阳所在的宿度位置：先设定所求年份冬至日的黄赤道差，然后用次年的黄赤道差减去它，得到的余数乘以所要求节气的序号（从冬至开始数），再除以24，得到的结果加上该节气下的中积和约分，再根据该节气第一天的盈缩分进行加减（盈分就加，缩分就减），最后加上冬至时的黄道日度，按照二十八宿的次序命名，就得到各节气第一天加时黄道太阳所在的宿度和分数。（如果当年冬至加时赤道太阳度数为零，分秒在岁差以下，就按前宿的完整度数，再求黄赤道差，用次年的冬至加时黄赤道差减去它，余数按本方法计算，各得所求。这个方法是为了探究推算的微妙，急于求得正确结果，只用盈缩分来加减中积，用天正冬至加时黄道日度加上后命名。）

• 二十四气：二十四节气，传统历法中的节气划分
• 黄道：太阳在天球上的视运动路径
• 日躔：太阳运行的轨迹或位置
• 赤道：天球上的赤道，与地球赤道对应
• 黄赤道差：黄道与赤道之间的夹角差，用于修正太阳位置
• 中积：天文计算中的累积数值
• 盈缩分：太阳视运动不均匀性的修正值，盈指快，缩指慢
• 宿次：二十八宿的次序
• 岁差：地球自转轴进动导致的天文现象，约每72年移动一度

〔48〕求二十四气初日晨前夜半黄道日躔宿次：置一百分，分以一百约其气初日升降分，升加降减之，一日所行之分乘其初日约分，所得满百为分，分满百为度，不满百分为秒，以减其初日黄道加时日躔宿次，即其日晨前夜半黄道日躔宿次。

计算二十四节气中每个节气开始那一天的清晨前夜半（即子时）太阳在黄道上的位置（宿次）。方法是：设定一百分，用这一百分来调整节气开始日的升降分数（变化值），上升就加上，下降就减去；然后将太阳一天运行的分数乘以该日的调整分数，得到的结果如果满一百就算作一分，满一百就算作一度，不满一百的则作为秒。用这个数值减去该日黄昏时太阳在黄道上的位置，就得到该日清晨前夜半太阳在黄道上的位置。

• 二十四气：指二十四节气，是中国古代用来表示季节变化的二十四个时令点。
• 黄道：从地球观察太阳在星空中的运行轨迹，古人认为太阳沿黄道运行，与今概念类似。
• 黄道日躔宿次：古代天文术语，指太阳沿着黄道运行，在二十八宿中的具体位置，是古代历法计算的重要概念。
• 日躔：太阳运行的度数或位置。
• 宿次：太阳所在二十八宿中的次序，二十八宿是古人划分星空的二十八个区域。
• 升降分：指太阳每日运行度数的增减变化值，用于修正太阳运行的不均匀性。
• 约分：将分数简化或调整为整数的过程，这里指用一百来约简升降分。
• 晨前夜半：清晨之前的夜半时分，即子时（约夜间11点到1点），古代常作为一天的起始时刻。

〔49〕求每日晨前夜半黄道日躔宿次：各因二十四气初日晨前夜半黄道日躔宿次，日加一度，以一百约每日升降为分秒，升加降减之，以黄道宿次命之，即每日晨前夜半黄道日躔所距宿度及分。

计算每天黎明前半夜时太阳在黄道上的位置（宿度）。方法是：根据每个节气第一天黎明前半夜的太阳黄道宿度，每天增加一度，并将每天太阳位置的升降数值除以一百，换算成分秒，上升就加上，下降就减去，然后用黄道宿次来命名，这样就得到每天黎明前半夜时太阳在黄道上的距离宿度和分数。

• 黄道：地球公转轨道平面在天球上的投影，太阳视运动的路径。
• 约：折算、换算，此处指将数值除以一百化为分秒单位。
• 宿次：二十八宿的度数和次序，即星宿的位置坐标。
• 晨前夜半：黎明前的午夜时分，即子时，一天中阴极阳生之时。
• 日躔：太阳运行的轨迹，此处指太阳在黄道上的具体位置。

〔50〕步月离

在月光下散步时离别。

• 步月：在月光下散步。
• 离：离别，分离。

〔51〕转周分：二十九万一千八百三、秒五百九十四。

转周分的数值是二十九万一千八百零三分，再加上五百九十四秒。

• 转周分：古代天文历法术语，指月亮运行一周（如近点月或恒星月）的总长度，用分、秒等小单位表示，是推算月亮位置的重要常数。
• 分：古代计量单位，在历法中常把一日或一度分为若干分，具体大小因历法而异。
• 秒：比分更小的单位，通常一分为一百秒，用于提高计算的精确度。

〔52〕转周日：二十七、余五千八百七十三、秒五百九十四。

运转一周的天数：二十七天，余数为五千八百七十三，秒数为五百九十四。

• 转周日：指天体运行一周所需的天数，即周期。
• 余：古代天文历法中，整数部分之后的余数，用于表示小数部分。
• 秒：古代天文单位，表示比余更小的分数，通常用于精确计算。

〔53〕朔差日：一、余一万三百三十五、秒九千四百六。

朔差日：一天，余数一万三百三十五，秒数九千四百六。

• 朔差日：古代历法术语，指朔望月与回归年或恒星月之间的差值，用于调整历法。
• 余：古代历法中小数部分的表示，指整数日以下的不满部分，常以分数形式计算。
• 秒：古代历法中比“分”更细的单位，用于精确表示余数的小数部分，与现代的秒不同。

〔54〕望差：一十四、余八千一百四、秒五千。

望差是十四天，余数为八千一百四，秒数为五千。

• 望差：古代历法术语，指从朔日（新月）到望日（满月）的时间差。
• 余：古代历法中不足一整日的小数部分。
• 秒：古代历法中比“分”更小的时间单位。

〔55〕弦策：七、余四千五十二、秒二千五百。

弦策的数值是：整数部分七，余数部分四千零五十二，秒数部分二千五百。

• 弦策：古代数学或历法中，指与勾股弦相关的计算数值或常数。
• 余：余数，指整数部分以外的分数或剩余部分。
• 秒：古代数学中的单位，通常为‘分’以下更小的单位，如1分=60秒，这里表示精细数值。

〔56〕七日：（初数九千四百四十一，初约分八十九；末数一千一百七十九，末约分一十一。）

第七天：初始数字是9441，初始约简值是89；最终数字是1179，最终约简值是11。

• 初数：初始的数值，表示计算或记录开始时使用的数字。
• 约分：在数学中指对分数进行化简，此处指化简后得到的数值或分母。
• 末数：最终的数值，表示计算或记录结束时的数字。

〔57〕十四日：（初数八千二百三十二，初约分七十八；末数二千三百五十八，末约分二十二。）

第十四天：初始的数字是8232，它约简后的结果是78；末尾的数字是2358，它约简后的结果是22。

• 初数：初始的数字或数目。
• 约分：中国古代数学中的重要概念，最早见于《九章算术》，用于分数的化简，体现了古人对分数运算的精确处理。
• 末数：末尾的数字或数目。

〔58〕二十一日：（初数七千五十二，初约分六十九；末数三千五百三十八，末约分二十三。）

二十一日：（初始的数是7052，约简后得到69；最后的数是3538，约简后得到23。）

• 初数：开始时的数字，这里指一个初始数值。
• 约分：本指分数化简，此处指化简后得到的数值。
• 末数：结束时的数字，这里指最终的数值。

〔59〕二十八日：（初数五千八百七十三，初约分五十六。）

二十八日这一天：（最初的数字是五千八百七十三，最初的约分结果是五十六。）

• 初数：最初的数字，指计算或记录中的初始数值。
• 初约分：最早的约分化简操作，通常用于分数，这里指简化后的分母或结果。
• 约分：数学术语，将分数化成最简分数的过程。

〔60〕已上秒法一万。

上面说的是秒法为一万的情况。

• 已上：古汉语中通“以上”，指代前文所述的内容或范围。
• 秒法：古代历法中用于计算时间小数部分的基数，比如一日分成若干秒的规则。

〔61〕上弦：九十一度三十一分、秒四十一。

上弦月（农历初七、初八的月相，西半边亮）的弧度为九十一度三十一分四十一秒。

• 上弦：月相之一，指农历每月初七、初八时从地球看到的半圆形月亮，西边明亮。
• 度：古代角度单位，一个圆周为360度。
• 分：角度单位，一度等于60分。
• 秒：角度单位，一分等于60秒。

〔62〕望：一百八十二度六十二分、秒八十二。

满月时，月亮与太阳之间的夹角为一百八十二度六十二分八十二秒。

• 望：指满月，即月球与太阳黄经相差180度的时刻。
• 度：古代角度单位，一周天分为365又1/4度，这里用于衡量天体间距。
• 分：古代角度单位，一度等于一百分。
• 秒：古代角度单位，一分等于一百秒。

〔63〕下弦：二百七十三度九十四分、秒二十三。

下弦月的时候，月亮运行到二百七十三度九十四分二十三秒的位置。

• 下弦：农历每月二十二、三日，月亮东半边亮、西半边暗，呈半圆形状的月相。
• 度：古天文学的角度单位，将周天分为365.25度，此处指月亮所在位置的度数。
• 分：角度单位，在古代天文中一度等于一百分，不同于现代时间单位。
• 秒：角度单位，在古代天文中一分等于一百秒，用于精细表示位置。

〔64〕平行：一十三度三十六分、秒八十七半。

平行（平均运行）的角度为13度36分87.5秒。

• 平行：指天体运行的平均行度，即平均运行的角度。
• 度：古代天文中的角度单位，圆周分为360度或365又1/4度，此处指角度单位。
• 分：角的次级单位，一度等于一百分（百进制）或六十分（六十进制），此处按原文推测为百进制或特殊用法。
• 秒：角的更小单位，一分等于一百秒（百进制）或六十秒（六十进制）。
• 天文历法：此段可能出自中国古代天文历算著作，如《授时历》等，用于描述天体的平行运动度数。

〔65〕已上秒母一百。

以上就是秒母为一百的内容。

• 已上：意为“以上”，常用于总结前文或表示达到某一标准。
• 秒母：古代历法或计量中用以表示时间、角度等微小单位的分母，如“秒母一百”即指该单位的分母为一百。

〔66〕推天正十一月经朔入转：置天正十一月经朔积分，以转周分秒去之，不尽，以枢法除之为日，不满为余秒，命日，算外，即所求天正十一月经朔加时入转日及余秒。（若以朔差日及余秒加之，满转周日及余秒去之，即次日加时入转。）

计算天正十一月平朔进入近点月周期的方法：把天正十一月平朔的积分数值拿出来，用近点月周期的分秒数去除（即除以周期取余数），剩下的部分用枢法来除得到天数，不够一天的部分就是余秒，确定下天数，从命算的天数之外开始算起，就得到了天正十一月平朔加上时间后进入近点月周期的天数和余秒。（如果再加上朔差天数和余秒，满一个近点月周期天数和余秒就去掉，就得到第二天加时进入近点月周期的结果。）

• 天正：古代历法中以冬至所在月份为岁首，通常指十一月，称为天正。
• 经朔：按月球平均运动计算出来的朔日，即平朔，与实际观测的定朔不同。
• 入转：进入月球近点月周期的时刻，近点月是月球连续两次经过近地点的时间。
• 转：古代天文学把月球近点月周期称为‘转’，相关算法源自《大衍历》等历法体系。
• 转周：近点月周期的长度，古代历法中通常用‘转周’表示。
• 枢法：古代天文计算中的基数或除数，用于将余数转换为日、秒等单位。
• 朔差：平朔与定朔之间的时间差，用于修正至实际朔日。

〔67〕求弦望入转：因天正十一月经朔加时入转日及余秒，以弦策累加之，去命如前，即上弦、望及下弦加时入转日及余秒。若以经朔、弦、望小余减之，各得其日夜半入转日及余秒。

要计算上弦、满月和下弦时刻的月球近点月位置：先利用天正十一月平朔的加时入转日数和余分数，然后依次加上弦策（弦望的间隔常数），去掉整数周数，方法同前，这样就得到上弦、满月、下弦时刻的入转日数和余分数。如果再用平朔、上弦、满月的小余数去减，就能得到这些日期当天夜半时刻的入转日数和余分数。

• 弦望：指上弦月、下弦月和满月（望），是月相变化的重要节点。
• 入转：指月球进入近点月周期后的时间，通常以日数和余秒表示。
• 天正：古代历法以冬至所在月为天正，通常对应十一月，是历法计算的起始点。
• 经朔：即平朔，根据月球平均运动计算出的合朔时刻，不含不均匀改正。
• 加时：指在日数基础上附加上具体的时刻余分，以获得精确的时间。
• 弦策：历法中用于推算弦望的固定常数，一般为7日加若干余分。
• 去命如前：指按照规定的算法去掉整数周数（置闰或取整），与前文算法相同。
• 小余：历法中日以下的分数部分，常用来表示不足一日的零头。

〔68〕（表略）

这里省略了表格内容。

• 表略：古代文献中表示表格内容被省略的常用语，直接沿用原表格式，省略具体数据或文字。

〔69〕求朔弦望入转朏朒定数：置所入转余，乘其日损益率，枢法而一，所得，以损益其下朏朒积为定数。其四七日下余如初数下，以初率乘之，初数而一，以损益朏朒为定数。若初数已上者，以初数减之，余乘末率，末数而一，用减初率，余加朏朒，各为定数。（其十四日下余若在初数已上者，初数减之，余乘末率，末数而一，为朏定数。）

求朔日、上弦月、望日、下弦月这几种月相所对应的月球运动修正值（朏朒定数），方法是：取所进入周期的剩余部分（入转余），乘以当天的增减比率（损益率），再除以一个固定常数（枢法），得到的结果用来调整该天下面的基数（朏朒积），从而得出定数。对于第4天和第7天的剩余部分，如果它和初始阶段的情况一样，就用初始速率（初率）乘以它，再除以初始阶段的长度（初数），用这个结果去调整修正值，得到定数。如果剩余部分大于初始长度，就用初始长度减去它，剩下的数乘以结束速率（末率），再除以结束阶段的长度（末数），然后用初始速率减去这个结果，剩下的加上修正值，各自得到定数。（其中第14天的剩余部分，如果大于初始长度，同样用初始长度减去它，剩下的乘结束速率，除以结束长度，得到朏定数。）

• 朔弦望：四种月相：朔（初一）、上弦（约初七八）、望（十五）、下弦（约廿二廿三）。
• 入转：指月球进入一个运动周期（如近点月）的位置或剩余阶段。
• 朏朒：指月球运行速度不均匀而引起的修正值，朏表示速度偏快，朒表示速度偏慢。
• 损益率：每日的增益或减损速率，用于逐日计算修正量的变化。
• 枢法：天文历算中使用的固定除数，相当于现代计算中的分母或比例系数。
• 无：此段内容为古代历法算法，不涉及具体地名或历史典故。

〔70〕求朔望定日：各以入气、入转朏朒定数朏减朒加经朔、弦、望小余，满若不足，进退大余，命甲子，算外，各得定日及余。若定朔干名与后朔同名者大，不同者小，其月无中气者为闰月。（凡注历，观朔小余，如日入分已上者，进一日，朔或当定，有食应见者，其朔不进。弦、望定小余不满日出分，退一日，其望定小余虽满此数，若有交食亏初起在日出已前者，亦如之。有月行九道迟疾，历有三大二小；若行盈缩累增损之，则有四大三小，理数然也，若俯循常仪，当察加时早晚，随其所近而进退之，不过三大二小。若正朔有加交，时亏在晦、二正见者，消息前后一两月，以定大小。）

推算定朔和定望的方法：分别用入气、入转的朏朒定数，从经朔、弦、望的小余中减去朏数或加上朒数，得到定小余。如果结果满或不足，则调整大余（即日数），从甲子日开始计数，即得到定朔或定望的干支日和余分。如果定朔的干支与后一个朔的干支相同，则这个月是大月；如果不同，则是小月。那个月如果没有中气，就是闰月。（凡是注历，观察朔的小余，如果等于或大于日入分（日落时刻的分值），就前进一日；但如果朔日应当确定，且发生日食应该出现，则这个朔日不前进。弦、望的定小余如果不满日出分，就后退一日；如果望的定小余虽然满足这个条件，但有交食亏初发生在日出之前，也这样处理。月行有九道迟疾，历法通常有连续三个大月和两个小月；如果考虑盈缩累积增损，则可能有四个大月和三个小月，这是数理自然。如果遵循通常的历法，应当观察加时的早晚，根据接近的情况而调整，不会超过三个大月和两个小月。如果正月朔有交食，亏损出现在晦日或初二，就调整前后一两月，以确定大月小月。）

• 入气：指进入节气，即太阳在黄道上的位置所对应的节气。
• 入转：指进入月亮运行的一个周期（转周），用于计算月亮运动不均匀性。
• 朏朒：指月亮运行快慢的修正值，朏为增益，朒为减损，用以修正平朔得到定朔。
• 经朔：不考虑月亮运动不均匀性的平朔，是未加修正的朔日。
• 小余：一日之内的分数部分，中国古代将一日分为若干分，小余表示不足一日的部分。
• 大余：从甲子开始的总日数，用来表示干支日名。
• 定朔：经过朏朒修正后的实际朔日，反映真实月相。
• 日入分：日落时刻在一天中的分数，用于判断是否进入下一日。
• 日出分：日出时刻在一天中的分数，用于判断是否退回到前一日。
• 九道：指月亮运行的九条轨道，是古代描述月亮运动的一种模型。

〔71〕求定朔弦望加时日所在度：置定朔、弦望约分，副之，以乘其日升降分，一万约之，所得，升加降减其副，以加其日夜半日度，命如前，各得其日加时日躔黄道宿次。

要计算定朔、弦望这两个时刻太阳所在的度数，先取定朔、弦望的分数部分（即约分），把它作为副值，然后用这个副值乘以当天的升降分，再除以一万，得到的结果如果是升分就加到副值上，降分就从副值里减去，接着加上当天半夜时太阳的位置（夜半日度），最后按照前面的方法用二十八宿的宿次来命名，这样就能得出当天加时点太阳在黄道上的宿次了。

• 定朔：按照月球和太阳实际运动确定的朔日（农历初一），不同于平朔。
• 弦望：弦指上弦月和下弦月（约初七、初八和廿二、廿三），望指满月（十五或十六）。
• 加时：指定朔、弦望等节气或月相发生的具体时刻，不是一整天。
• 约分：指日、月运动超前或落后的小数部分，在历法计算中用于调整。
• 升降分：太阳在黄道上每天向北或向南移动的分数，反映太阳赤纬的变化。
• 一万约之：古代历法常用分数运算，“约之”表示除以一万进行换算。
• 夜半日度：每天半夜（子时）太阳在黄道上的位置，是计算日行度的基点。
• 黄道宿次：太阳在黄道运行所经过的二十八宿星次，用于标记太阳位置。